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非周期函数的傅立叶级数 例4 把 (2)将 三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数 当函数定义在任意有限区间上时, 方法2 * 湖南大学理科通识阶段教育课程 —— 无穷级数 微积分（二） 第七讲 非周期函数的傅立叶级数 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 学习要求 对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述； 对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。 知道函数展开为傅里叶级数的充分条件。 能将周期函数及定义在 和 上的非周期函数展开为傅里叶级数， 能将定义在 和 上的函数展开为正弦或余弦级数。 第九章 无穷级数 第五节 傅立叶级数 非周期函数的傅立叶级数 一、非周期函数的周期性延拓 二、奇延拓和偶延拓 三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数 对于非周期函数,如果函数 只在 区间 上有定义,并且满足狄立克 雷充分条件,也可展开成傅立叶级数. 一、非周期函数的周期性延拓 设非周期函数 在 上有定义，则函数 称为非周期函数 的周期延拓， 的周期函数，并且在 上有 延拓后的函数 在 上是周期为 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 . 所求函数的傅立叶级数展开式为 推广:利用傅立叶级数展开式求出几个特殊级数的和 二、非周期函数的奇偶延拓 则有如下两种情况 1.奇延拓 2.偶延拓 解 (1)求正弦级数. (2)求余弦级数 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 作偶周期延拓, 则有 说明: 此式对 也成立, 由此还可导出 据此有 方法1 令 即 在 上展成傅里叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法: