高数上册第一章第一节映射与函数(一).pptVIP

第一节 映射与函数 四、函数的特性 五、复合函数 六、基本初等函数 七、初等函数 八、双曲函数与反双曲函数 六、小结 【定义1】 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 1.【初等函数】 【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 否则称为非初等函数. 【例2】 【解】 综上所述 2.【非初等函数举例】 ①［符号函数］ ②［取整函数］ 当 有理数点 无理数点 ? 1 x y o ③［狄里克雷函数］ 1 -1 x y o ④［分段函数］（略）：一般是非初等函数. 奇函数. 偶函数. 1.【双曲函数】 ① ② * * 一. 区间和邻域 五. 基本初等函数 二. 函数概念 三. 函数的特性 四. 复合函数 八. 小结 思考题 六. 初等函数 七. 双曲函数 一.区间和邻域 ⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 开区间 闭区间 预备知识 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 半开区间 无限区间 ⑵【邻域】 设? 0则开区间 称为点 的 ? 邻域。记作 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 去心? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : ? ? 【定义】以点 为中心的 任何开区间称为点 的邻域。记作 a a 1.【定义】 因变量 函数值 自变量 函数 定义域 函数值 值域 二、函数概念 自变量 因变量 对应法则f 2.【函数的两要素】 定义域与对应法则. 【约定】定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合.（自然定义域） 【注意】 两要素是判断两函数是否相同的唯一标准. 【定义】 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数． 【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。 3.【函数图形】 三.【几个特殊的函数举例】 (1)【常数函数】 c为常数 图形是一条平行于 轴的直线 (2)【绝对值函数】 (3) 【符号函数】 1 -1 x y o 或 (4) 【取整函数 】y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 该函数是数论中一个极为重要的函数 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (5) 【 狄利克雷函数】 (6) 【取最值函数】 y x o y x o 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. (7)【分段函数】 1.【函数的有界性】 上界 下界 (1)【定义】 则称函数 f (x)在X上有界.否则称无界. M -M y x o X M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 【结论】 f (x) 在X上无界 1【定义】 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数. 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数, ① ② u 称为中间变量. 2【注意】 2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 三重复合函数 1）构成复合函数的条件 不可少. （即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D)一定包含在外层函数的定义域D1内） 1.【幂函数】 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 2.【指数函数】 3.【对数函数】 4.【三角函数】 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5.【反三角函数】