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数 学 专 题 梁一平 重庆师范大学物理学与信息技术学院 The Physics and Information Technique College of Chongqing Normal University 专题2 高等数学知识点解读 第一节 向量及其线性运算 二、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 定理1. 三、空间直角坐标系 在直角坐标系下 2. 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 例. 已知两点 说明: 由 五、向量的模、方向角、投影 例. 在 z 轴上求与两点 2. 方向角与方向余弦 第二节 数量积 向量积 *混合积 3. 运算律 例. 证明三角形余弦定理 4. 数量积的坐标表示 二、两向量的向量积 1. 定义 2. 性质 4. 向量积的坐标表示式 向量积的行列式计算法 *三、向量的混合积 2. 混合积的坐标表示 3. 性质 内容小结 混合积: 第三节 曲面及其方程 定义1. 例. 求动点到定点 例. 研究方程 二、旋转曲面 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 四、二次曲面 1. 椭球面 2. 抛物面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 内容小结 2. 二次曲面 第四节 空间曲线及其方程 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 例. 将下列曲线化为参数方程表示: 例. 求空间曲线 ?: 例如, 直线 又如, xoz 面上的半圆周 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 又如, 内容小结 第五节 平面及其方程 例.求过三点 说明: 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 特殊情形 三、两平面的夹角 特别有下列结论： 例. 设 内容小结 第六节 空间直线及其方程 2. 对称式方程 3. 参数式方程 例.用对称式及参数式表示直线 二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 2. 直线与平面的夹角 例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 1. 空间直线方程 2. 线与线的关系 3. 面与线间的关系 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 量 则有 故 一、平面的点法式方程 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 时, 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 外一点,求 解:设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向