高等数学 无穷级数 -.pptVIP

（第二版） 定理4 比值审敛法 (达朗贝尔 判定法) 收敛 发散 方法失效 由级数本身就能断定敛散性, 不必找参考级数. 适用于 的若干连乘积(或商)形式. 比值审敛法 注 要用其它方法判定. 或 不存在时, 例如, 级数收敛 ; 级数发散 . 但 级数可能收敛也可能发散. p – 级数 注 当 时, ① 一旦出现 收敛 ② 条件是充分的, 但非必要. 收敛 极限不存在 例 判定级数 的敛散性. 解 因为 所以 又因为 收敛, 所以原级数也收敛. 比值审敛法失效, 解 改用比较极限审敛法 例 判定级数 的敛散性 两级数有相同的敛散性 例 利用级数收敛性,证明 证 考查级数 由于 故级数 　收敛. 由级数收敛的必要条件知, 级数收敛. 定理5 适用于:以n为指数幂的因子 根值审敛法 (柯西判别法) 收敛 发散 方法失效 如 ① 根值法条件是充分的, 但非必要. 收敛 ② 凡涉及证明的命题一般不可用比值法 而只能用比较法. 与根值法, 注 例 讨论级数 的敛散性. 解 因为 所以, 当a0时, 级数收敛; 当a0时, 级数发散; 当a=0时, 根值法失效, 但此时级数为 是发散的. 例 证明: 级数 发散. 证 因 故 从而 由级数收敛的必要条件, 级数 发散. 这里用比值法判断级数的收敛性时, 虽然如此,也还能利用比值, 求出比值的极限为1, 比值审敛法失效. 从而得到一般项不收敛于零. 因为 恒大于1, 定理6 (积分审敛法) 积分审敛法 为正项级数， f(x)在 上单调递减， 与广义积分 有相同的敛散性. 则级数 判别级数 的敛散性. 例 解 取 函数在 上满足积分审敛法的条件. 所以级数 发散. 判别级数 的敛散性. 例 解 取 函数在 上满足积分审敛法的条件. 所以级数 收敛. 正、负项相间的级数称为 定义 交错级数. 定理 (莱布尼茨定理) 二、交错级数 如果交错级数满足条件 证: 由条件(1): 分析 满足收敛的两个条件, 也是一个交错级数. 由条件(2): * *