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§4. 重积分的应用 二、重积分在物理上的应用 2. 质心 3. 转动惯量 4. 引力 小 结 练 习 题 作业 P116 4(2), 6, 7(2), 9(3), 12, 14 解 1、质量 另： 由元素法 o x y D 于是 同理 当薄片是均匀的，质心称为形心. . x o y 1 2 . 求位于圆 r = 2sin? 和圆 r = 4sin? 之间的均匀薄片的重心 z = 0 y x z o 球面坐标 a . . . 用哪种坐标？ r = a . . z = 0 y x z o 柱面坐标 . 1 . . . . . . . 用哪种坐标？ . . 1 解 O x y z R 解 o x y . . . . . . . . . mi (xi , yi) m1 mn 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 o x y D 由元素法 解 解 或由公式 解 由公式 由对称性知， 三式相加得 从而 薄片对 轴上单位质点的引力 * 把定积分的元素法推广到重积分的应用中. 元素法（微元法）: 1. 体积 一、重积分在几何上的应用 Dxy: a 柱面坐标 r =a cos? 。 所围立体是曲顶柱体 Dxy 0 y x 先选系 1. 上顶： 下底： Dxy: 。 。 a r =a cos? 0 y x 。 所围立体是曲顶柱体 D 用瓦里斯公式 怎么计算？ 柱面坐标 先选系 . 1. 由对称性，考虑上半部分 z x y o . 1. a 由对称性，考虑上半部分 . 1. x y o z z = 0 a x y z o 。 V 。 。 。 维望尼曲线 。 。 由对称性，考虑上半部分 D ?1 . 1. a a x z y 0 2. D y = 0 x = 0 a a a a x o y D . . . . x z y 0 . . . 2. x z y 0 1 立体关于xoy平面对称 解 3. 作上半块立体图 ?1 1 x z y 0 立体关于xoy平面对称 解 3. . 作上半块立体图 ?1 x z y 0 1 y =1 ?1 立体关于xoy平面对称 作上半块立体图 ?1 . . . . 解 3. . 0 x z y a b 4. b 0 x z y a ? 问题： 2 用哪种坐标系？ 1 是不是曲顶柱体？ 3 交线 L的方程？ 交线 L . . . 柱系. . 4. V = 上顶： 下底： 4 Dxy ? Dxy . . . (球系？ 需分块儿!) 引理 ? A ? . 一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 对每一个用引理， 然后迭加 再取极限即可。 当A是矩形, l 证 且一边与l平行 则? 也是矩形, 且 b 引理成立 . a ? 注：这里 ? 即 两平面法矢量的夹角 证毕 2 曲面的面积 . 曲面的面积 x z y 0 z = f (x,y) D (xi , yi) Pi . 曲面的面积 x z y 0 z = f (x,y) D . (xi , yi) ?i ? Ai （由引理） Pi . . . 1. 设曲面?的方程为： 空间曲面的面积 计算曲面 的面积S. ３．设曲面?的方程为： 曲面面积公式为： ２．设曲面?的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 平面图形的面积 D 1. x y z o 1 1 x y z o 1 . x y z o 1 1 D S . . . . . . . . a a x z y 0 设圆柱面为 2. 考虑第一卦限 2. D a a . . x z y 0 a a x o y D . . . . . 设圆柱面为 . 3. a y x z o 3. x y z o D S = 共同的 D : . . . 2 x z y 4. o 4. x z y 2 问题： 曲面向哪个坐标面投影？ . o 只能向xoz平面投影 x z y 2 得 z = 2 . Dxz . . 4. o 其中， x z y 2 Dxz . . . . 得 z = 2 . 4. o . 其中， * * * *