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§3. 三重积分 小 结 练 习 题 作业 P164 4，5，6，7，8 一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆或者扇形域,被积函数含有式子x2+y2时,用柱坐标计算比较简单(x2+y2=r2). 小 结 练 习 题 作业 P164 9，10，11，12(2,4) 解 解 1 . Dxy: z = 0 用哪种坐标？ . 柱面坐标 0 x z y Dxy 14. 计算 I = 1 0 x z y 1 Dxy . Dxy: z = 1 锥面化为: r = z 1 . 用哪种坐标？ 柱面坐标 15. . . 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， 解 0 x z y M(r,?,?) r ? ? N y x z . . . 16. 球面坐标 S r M ? y z x 0 r =常数: ? =常数: 球面S 动点M(r,?,?) 17. 球面坐标的坐标面 17. 球面坐标的坐标面 ? C r =常数: ? =常数: S 球面S 半平面P 动点M(r,?,?) M ? y z x 0 ? P ? =常数: 锥面C . r ? ? dr d? rsin? x z y 0 圆锥面? rd? 球面r 圆锥面?+d? 球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成： d? rsin?d? 18. 球面坐标下的体积元素 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r ? ? dr d? x z y 0 d? rd? 元素区域由六个坐标面围成： rsin?d? 18. 球面坐标下的体积元素 . 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r 2 sin? drd?d? sin? drd?d? r 2 rcos ?) dV dV = r R 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 19. 0 x z y 0 x z y M r ? R 对?: 从0? 积分， . 19. 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 ? R 对? : 从0? 积分，扫遍球体 ? . 19. 得锥面 0 x z y 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 对?: 从0? 积分， 0 x z y R ? . 0 I=V 当 f =1, . 19. 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 得锥面 对?: 从0? 积分， 对? : 从0? 积分，扫遍球体 球系下确定积分限练习 1 ?为全球体 2 ?为空心球体 3 ?为上半球体 4 ?为右半球体 5 ?为球体的第一、二卦限部分 . . . . . . 19. z 0 x y a 化为球系下的方程 r=2a cos? . M . r ? ? 20. Dxy: 。 。 z = 0 a b 0 y x Dxy 。 直角坐标 用哪种坐标？ 21. a z o b y x cz=xy . 21. z z = 0 a cz=xy y x b . 21. o a z o x y . ? cz=xy b . 21. Dxy: 。 。 a 0 y x Dxy 联立 柱面坐标 。 用哪种坐标？ 22. 2a a . L 联立 柱面坐标 2a 0 x y z 22. . 0 x z y . L D . . . 联立 柱面坐标 a 2a 22. . 0 x z y a b 23. b 0 x z y a ? 问题： 2 要不要分块？ 3 怎么分块？ 把图形放大一些 把图形放大一些 1 用哪种坐标？ （球系） 23. . 23. 0 x z y b a 联立 r =2a cos? r =b 交线 L 交线 L处 . . 23. 0 x z y b a . . . . . . x z y . . 23. 0 x z y b a . . . I = I1+ I2 . I2 = ?2 z =0 4 ? . . Dxy . . y 0 x z 解 解 如图， 解（1） （2） 解（2） 解（3） x y z D 先二后一法 先一后二法 Dz 解2 解1 1 注：当 面积易求，f (x,y,z)=f (z)时，这种方法简便. x 0 z y c1 c2 z ? Dz 二. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） 先做二重积分，后做定积分 x 0 z y c1 c2 ? . 先做二重积分，后做定积分 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） z Dz x 0 z y c1 c2 ? I = . 先做二重积分，后做定积分 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） z Dz x 0 z y c1 c