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上页 下页 结束 返回 首页 第七节 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章 一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． ) ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1、曲率的定义 ) 弧段弯曲程度与 有关. 转角 、弧段长度 ) y x o （ 设曲线C是光滑的， （ 定义 曲线C在点M处的曲率 2、曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.（课本P170） ) y x o 例1(P171-2) 解 显然, 三、曲率圆与曲率半径 定义 1. 有共同的切线，亦即圆与曲线在点M处相切. 曲率圆与曲线在点M处有以下关系： 2. 有相同的曲率. 3. 因此，圆和曲线在点M处一阶导数相同、二阶导数同号. 例2 ? ? 解 如图,受力分析 视飞行员在点o作匀速圆周运动, O点处抛物线轨道的曲率半径 ? ? 得曲率为 曲率半径为 即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力. 运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学. 小结 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径 思考题 椭圆 上哪些点处曲率最大？ 思考题解答 要使 最大， 必有 最小， 此时 最大， 补充:参数方程曲率公式 作业: P177: 2, 5, 8 选讲： 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 设曲线方程为 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 由此可得曲率中心公式 (注意 与 异号 ) 当点 M (x , y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 屈线的参数方程(参数为x). 点击图中任意点动画开始或暂停 例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 , 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. ( 仍为摆线 ) 例5. 求摆线 的渐屈线方程 . 解: 代入曲率中心公式 , 得 摆线 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 , 点击图中任意点动画开始或暂停 其上定点 M 的轨迹即为摆线 . 参数的几何意义 摆线的渐屈线 点击图中任意点动画开始或暂停 内容小结 曲率中心 点击图片任意处播放\暂停 例2 证 如图 （ （ 在缓冲段上, 实际要求 * 高等数学（同济六） CH 3.7 曲率 * 运行时, 点击按扭 “摆线”可用动画显示摆线与摆线的渐屈线的生成, 演示结束自动返回. 高等数学（同济六） CH 3.7 曲率 CH 3.7 曲率 高等数学（同济六） CH 3.7 曲率 上页 下页 结束 返回 首页 * 高等数学（同济六） CH 3.7 曲率 * 运行时, 点击按扭 “摆线”可用动画显示摆线与摆线的渐屈线的生成, 演示结束自动返回. 高等数学（同济六） CH 3.7 曲率