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总复习 第八章 向量代数与空间解析几何 (4) 两向量的数量积 （7） 线、面之间的位置关系 切平面方程 例5. 计算 第十一章 曲线积分与曲面积分 例1. 计算 例2. 2. 交错级数及其审敛法 3. 绝对收敛与条件收敛 例1.求幂级数 例4. （2）利用极坐标计算二重积分 则 其中 解: 在极坐标系下 原式 故 方法. 投影法 (“先一重后二重” ) 记作 其中? 为三个坐标 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 2. 利用柱坐标计算三重积分 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 称为点M 的柱面坐标. 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 1) 积分域表面用柱面坐标表示时曲面方程简单 ; 2) 积分域在坐标面上的的投影区域为圆域(半圆、 圆环等）. 例4. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中? 由抛物面 原式 = 1、对弧长的曲线积分: 定理: 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 证明: 如果曲线 L 的方程为 则有 说明2: 如果曲线方程为极坐标形式: 则 说明3: 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 2. 对坐标的曲线积分 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 特别是, 如果 L 的方程为 则 3. 格林公式 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 区域 D 边界L 的正向: 区域的内部靠左边. ( 格林公式 ) 4. 格林公式不成立的例子 例. 计算 其中L为原点位于内部的正向圆周。 在原点没有定义。 ( 格林公式 ) 5. 格林公式的应用 平面曲线积分与路径无关的条件 设G 是单连通域, 曲线积分 在G 内 与路径无关的充分必要条件是 在 G 内恒成立. 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 6. 对面积的曲面积分的计算方法 定理: 设有光滑曲面 例1. 计算曲面积分 其中? 是球面 被平面 截出的顶部. 解: 第十二章 无穷级数 1. 正项级数及其审敛法 若 则称 为正项级数 . 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 例1. 讨论 p 级数 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 2) 若 收敛。 证明级数 发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 。 * 目录 上页 下页 返回 结束 P411 运行时, 点击按钮 “解的公式”,可显示二阶线性方程组解的公式, 演示结束自动返回. 记 则 两点 与 (1)向量的坐标表示 则 设 (2) 利用坐标进行向量运算 例1. 已知两点 解: 求与AB同方向的单位向量 e . 1. 定义 设向量 的夹角为? , 记作 数量积 (点积) . ? 2. 数量积的坐标表示 设 则 3. 向量积的行列式计算方法 （5）平面方程（点法式、截距式） 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 求该平面?的方程. 量 为平面?的点法式方程. 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. 平面方程为 （6）空间直线方程（点向式） 有 设直线上的动点为 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 已知直线上一点 和它的方向向量 则两直线夹角 ? 满足 设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 例2.求直线 和 的夹角. 解: 直线L1的方向向量为 直线L2的方向向量为 夹角的余弦 从而 直线与平面的夹角 ? 设直线 L 的方向向量为 平面 ? 的法向量为 则直线与平面夹角 ? 满足 ︿ 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如, 圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . （8） 空间曲面 (9)空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C （10）空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数: 称它为空间曲线的参数方程