高等数学微积分第二章 第节.pptVIP

第九节 函数单调性与凸性的判别法 一、函数单调性的判别法 1、单调性的判别法 2、单调区间求法 说明: 3、利用单调性可以证明不等式 4、利用单调性可以证明根的唯一性 5、小结 二、函数的凸性及其判别法 1. 函数凹凸的定义 2. 函数凹凸性的判别法 3、曲线的拐点及其求法 结论： 4、利用函数的凸性证明不等式 5、小结 思考与练习 证 曲线的弯曲方向——凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; 函数凹凸性的判定 曲线凹凸与拐点的判别 提示: 利用 单调增加 , 及 B 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 1. 设在 提示: 及 . 的凹区间是 凸区间是 拐点为 ; ; 2. 曲线 有位于一直线的三个拐点. 3.求证曲线 证明： * 一、单调性的判别法 二、凸性及其判别法 定理 (函数单调性的判定法) 备注 证 例1 解 注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间，这时也称函数是该区间的单调函数. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 求函数的单调区间的方法: 例2 解 ?函数的单调增加区间为： 函数的单调减少区间为： 例2 解 ?函数的单调增加区间为： 函数的单调减少区间为： 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可以是导数 不存在的点. 例3 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性. 例4 例5 解 例如, 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例6 例7 例4 证 例7 证 例 证 例 证 例8 此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 问题:如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位于所张弦的上方 图形上任意弧段位于所张弦的下方 定义: 判别法2 判别法1 例1 解 注意到, 例2 解 说明: 若在某点二阶导数为 0 ,在其两侧二阶导数不变号,则函数的凹凸性不变 . 1) 定义 注意 拐点处若存在切线， 则必在拐点处穿过曲线. 2) 拐点的求法 证 求拐点的方法: 例3 解 凸 凹 凸 拐点 拐点 例4 解 不存在 凸 凹 注意: 若曲线 y=f (x) 在点 x0 连续 , 或不存在, 但 在点 x0 两侧异号, 则点 是曲线 y=f (x) 的一个拐点. 求拐点的步骤： step1 求二阶导数等于零和不存在的点 x0 . step2 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号. step3 写出拐点 . * *