高等数学微积分第十章 第2节.pptVIP

曲线积分与曲面积分 第二节 Gauss公式与散度 Gauss公式揭示了第二型曲面积分与三重积分之间一种重要的关系，这在理论上和应用上都十分重要。 二、散度 解: (2) 由(2.7)和(2.8)知 (1) 由(2.5)知 例9 设 表示在原点 的点电荷q所产生的静电场的电位移矢量，求： 由梯度的性质知 故 例8指出：当 时，由点电荷q产生的电位移量 是无源场. 一、Gauss公式 二、散度 三、外微分形式简介 一、Gauss公式 讨论第二型曲线积分时， Green公式揭示了第二型曲线积分与二重积分之间的关系。而对第二型曲面积分是否有类似的性质？这就是我们要得到重要的性质——Gauss公式. 则 定理1 设 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑或分片光滑的曲面所组成，取外侧， 一、Gauss公式 O y z x 解：利用Guass公式求解 例1 设∑是由以O(0, 0, 0)， A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)和C(0, 0, 1)为顶点的四面体OABC的表面，取外侧，求向量场 通过∑的通量 。 C(0,0,1) B(0,1,0) A(1,0,0) 一、Gauss公式的计算 首先假定 与平行于坐标轴的直线交点不多于 两个，我们称这种区域为简单区域， 到 xoy 平面的投 影记为 ， 由下部边界 ，上 部边界 和侧面边界 组成。 证明: 一、Gauss公式 O y x z 这时 取下侧， 取上侧， 取外侧， 我们有 一、Gauss公式 又在 上 故 同理 一、Gauss公式 所以 当 不是简单区域时，可用如同Green公式那样的思想方法，用若干辅助平面把 分割成有限个简单区域，在利用积分可加性，并注意辅助平面在 内的每个部分都分属两个小区域，且它的两个侧面方向相反，沿着它的曲面积分互相抵消，从而证明定理1仍然成立。 由两类曲面积分之间的关系知 一、Gauss公式 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 注记以下情况用Gauss公式计算较为方便： 较为简单且 易于计算. 使用Guass公式时应注意: 一、Gauss公式 1. P, Q, R是对什么变量求偏导数. 2. 是否满足高斯公式的条件. 3. Σ是取闭曲面的外侧. 4. 若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧. 解: 因被积函数均为一次式，其偏导数为常数，曲面∑是封闭的，故可用Gauss公式计算. 一、Gauss公式的计算 例2 计算积分 o z x y 其中Σ是正方体 的整个表面，取外侧。 一、Gauss公式的计算 例3 计算曲面积分 其中Σ为曲面 的外侧 解: 由 Gauss公式 这种求法是否正确，为什么？ 一、Gauss公式的计算 例3 计算曲面积分 其中Σ为曲面 的外侧 解: 由 Gauss公式 例4 求向量场 穿过由曲面 和 所围成立体表面外侧的通量。 解设 表示曲面 和 所 围立体，其表面外侧为 ，则 所求通量为 O y x z 一、Gauss公式的计算 由Gauss公式 利用球坐标系， 一、Gauss公式的计算 例5 计算曲面积分 其中∑是旋转抛物面 介于 及 之间的部分，取下侧。 o z x y 解： 一、Gauss公式的计算 解法1 空间曲面在 面上的 投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 故所求积分为 一、Gauss公式的计算 例7 计算曲面积分 取下侧。 其中Σ为上半球面 O y x z (0,0,a) (0,a,0) (a,0,0) 解: 因∑不是封闭的，不能直接使用 Gauss公式，但可补上圆 取上侧. 它与∑组成一个封闭的曲面，取 内侧，记它们所围的区域为 由Gauss公式 一、Gauss公式的计算 又 一、Gauss公式的计算 故 应用Gauss公式计算曲面积分，通常要求曲面是封闭的、取外侧。本例说明当曲面不是封闭时补上适当曲面(沿此曲面积分应易于计算)，使其封闭后使用Gauss公式的方法，并应注意