高等数学方明亮版数学课件 傅立叶级数.pptVIP

第六节 傅立叶级数 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数 傅里叶 (1768 – 1830) 狄利克雷 (1805 – 1859) 其中 令 ( 在 f (x) 的 连续点处 ) 证毕 其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) 其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 说明: 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 在 x = 2 k 处级数收敛于何值? 例8 把 作偶周期延拓, 则有 (2) 将 说明: 此式对 也成立, 由此还可导出 据此有 （自行练习课本 例10~11） 方法1 令 即 在 上展成傅里叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法: 当函数定义在任意有限区间上时, 令 在 上展成正弦或余弦级数 奇或偶式周期延拓 将 代入展开式 在 即 上的正弦或余弦级数 方法2 展成傅里叶级数. 解: 令 设 将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 则它满足收敛定 例9 将函数 （课本例12） 内容小结 1. 周期为 2? 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意: 若 为间断点, 则级数收敛于 2. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3. 在 [ 0 , ? ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 为正弦 级数. 4. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 (x ?间断点) 其中 当f (x)为奇 函数时, (偶) (余弦) 5. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 变换 延拓 课外练习 习题10－6 1； 2(1)；3(2)；4；6 思考练习 1. 在 [ 0 , ? ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . 傅氏级数的和函数 . 2. 写出函数 答案: 处收敛于 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 . 提示: 设周期函数在一个周期内的表达式为 , 3. 又设 求当 的表达式 . 解: 由题设可知应对 作奇延拓: 由周期性: 为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域 4. 设 数展式为 则其中系数 提示: 利用“偶倍奇零” (93 考研) 的傅里叶级 5. 是以 2? 为周期的函数 , 其傅氏系数为 则 的傅氏系数 提示: 令 6. 设 立叶级数, 并由此求级数 (91 考研) 解: 为偶函数, 因 f (x) 偶延拓后在 展开成以2为周期的傅 的和. 故得 7. 返回 上页 下页 目录 第十章 (Fourier Series) 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数 五、小结与思考练习 (Trigonometric series) 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 定理 1 组成三角级数的函数系 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 (Expanding to Fourier series) 定理 2 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, ① ② 对①在 逐项积分, 得 (利用正交性) 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; 由公式 ② 确定的 ① ② 以 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 设 f (x) 是周期为2?的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 ( 证明略 ) 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成傅里叶级数的条