高等数学第四章续导数在经济学中的应用.pptVIP

§4 导数在经济学中的应用 4.1边际与边际分析 4、2 弹性与弹性分析 4．3经济中的优化问题 作业p100 * 规律的方法叫作边际分析法。 1、边际成本 设成本函数为 ， 当产量由 变为 时， 成本函数的增量为 ， 这时成本 函数的平均变化率 为平均意义下， 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济 济变量的变化率。 利用导数来研究经济变量边际变化 当产量由 增加一个单位时所增加的成本，当 时，若上式极限存在，即 可导，则有 我们称 为边际成本函数，其经济学的解释为： 近似等于当产量为 时，若再增加一个单位产量所需增加 的成本。这是因为 2、边际收益 设产品销量为 时的收益为 （称为收益函数）， 可导时， 收益函数的变化率 称为销量为 时该产品的边际收入，它的经济学解释为： 近似等于当销量为 时，再销售一个单位产品所增加 （或减少）的总收益。 当 3、边际利润 设某产品销量为 时的总利润为 ，当 可导时，利润函数的变化率 称为销量为 时的边际利润。 近似等于销量为 它的经济学解释为： （或减少）的利润. 时，再多销售一个单位产品所增加 由于总利润为总收入与总成本之差，即 从而 可知边际利润是边际收益与边际成本之差。 设商品的需求量为 ， 价格为 ，需求函数 4、边际需求 称为边际需求函数。 经济意义为：当价格为p时，价格上涨（或下降）1个单 位，需求量将减少（或增加） 个单位。 的反函数 称为价格函数。 例1 设某厂生产某产品的固定成本为2000（元），生产 个产品的可变成本为 （元），如果产品的 销售价为30元，试求边际成本、边际利润以及边际利润为零时的产量。 解 总成本函数为 故边际成本函数 又由总收益函数 知，总利润函数为 故边际利润函数为 显然，当月产量为1000单位时，边际利润为零。 例2设某产品需求量 ，其中 为价格， 求边际收益函数以及 时的边际收益。 解由总收益函数为 ， 又根据需求函数知 从而总收益函数为 故边际收益函数为 令 由此可知，当销量小于500时，再增加销售可使总收入增加，但销量超过500时，收益会减少。 由 得 定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义， 弹性概念是经济学中的另一个重要概念. 相对改变量(或增量) 。 在经济学问题中，光有绝对数的概念是不够的。 例如：甲商品价格为5元，涨价1 元；乙商品价格为200元， 涨价1 元。价格的绝对改变量相同，哪个商品涨价幅度更大？ 我们用与原价之比来回答，甲商品涨价幅度为20%，乙商品 涨价幅度为0.5%. 对函数 分别称为自变量与因变量的 且 如果极限 存在，则称此极限值为函数 在 处点弹性， 记为 ， 而称比值 在 到 之间的平均弹性。 为函数 可知 当 很小时，得 若函数 在 可导，且对 则称 ， 为函数 在区间 内的点弹性函数，简称弹性函数。 弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。 近似地改变 表示在点 处当 产生1%的改变时， 在经济上 （应用中常略去近似二字。） （1） （2） 常用的弹性公式 （4） （5） ; , b ax ax Ex Ey ax+b y + = = （3） 设商品的需求量为 ， 价格为 ，需求函数 可导，则称 为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为 表示某商品 程度. 当价格上涨时，需求减少，因而 是递减函数， 经济学中常见的弹性函数 需求的价格弹性 当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映 一般为负值。 从而 有 （1）当 时，称为单位弹性，此时商品需求量的变动 与价格变动按相同百分比进行； 即 商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求 说明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比， 即价格变动对需求影响不大。 需求的价格弹性在经济学中的意义： （2）当 时，称为高弹性，此时 量对价格的变动较敏感； 时，此时 （3）当 ，称为低弹性， 例3 设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量为 为机票价格，问价格在什么范围内，需求为高弹 其中 性和低弹性的？ 解 由于 故 故当 时为低弹性的。 例4*已知某企业某产品和需求弹性在 之间，如果 该企业准备明年降价10% ，问该商品的销售量预计会增加 即 时，为高弹性的，而当 多少？总收益预计会增加多少？ 解由 得 从而 时 当 当 时， 由于 可见明年降价 ，企业销售量预计将增加约 总收入增加约 在经济活动中，经常有收益最大、成本最低、效益最好 等要求，实际上都是经济函数中的极值或最值问题。 例5　某养猪场有固定成本20000元，一年最多能养400 养猪数