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高等数学课件-凹凸性
$3-7曲线的凹凸与拐点 一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法 四、小结（Brief summary) * 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 凹 凸 定理1 （证明需用两次拉格朗日中值定理，并结合 凹凸的定义，见教材197页.） 解 注意到, 例1 (concavity and convexity). 注意(1)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线; (2)拐点在曲线上. (knee) 方法1: 方法2: 2、拐点的求法： 证 ( necessary condition) 注： Th2 y=x 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例2(P199) (regions of concavity and convexity) 方法2: 例3 解 例4(P199) 解 注意: 例5（补充） 解 1 0 由定义（1，0）是曲线的拐点。 例6(补充）证明不等式 证 设 则 对 即 又 例7（P200,习题3-7，3（1））利用凹凸性证明： 证 1、曲线的弯曲方向——凹凸性; 2、改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性的判定(定理1). 曲线 的凹凸区间及拐点的求法: (1)求 (2)解方程 并求 不存在的点; (3)用上述点划分 (4)写出凹凸区间及拐点. * *
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