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函数与极限 一、基本概念 基本初等函数 三、函数的特性 四、复合函数 初等函数 五、反函数 一、极限概念的引入 二、数列的定义 四、数列极限的性质 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 三、函数极限的性质 一、极限运算法则 二、求极限方法举例 一、极限存在准则 一、无穷小 三、无穷小与无穷大的关系 一、无穷小的比较 二、等价无穷小代换 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结 一、最大值和最小值定理 二、介值定理 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 极限 例2 证 (舍去) 例3 解 二、两个重要极限 (1) (2) 例4 解 例5 解 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小. 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 2、无穷小与函数极限的关系: 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 定理3 有界函数与无穷 小的乘积是无穷小. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 不是无穷大． 无界， A 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 四、小结 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义: 例如， 例1 解 例２ 解 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 常用等价无穷小: 定理２(等价无穷小代换定理) 证 例３ 解 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例４ 解 例５ 解 解 错 练 习 题 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 例1 例2 例3 1、有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2、唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 定理3 收敛数列的任一子数列也收敛,且极限相同． 注意： 二、自变量趋向有限值时函数的极限 例4 例2 例3 例5 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例6 证 1.有界性 2.唯一性 3.不等式性质 定理(保号性) 推论 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定理 例7 证 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 思考题 例 定理 推论1 推论2 例1 解 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 例4 解 (无穷小因子分出法) 答案：A 例5 解 先变形再求极限. 例7 解 左右极限存在且相等, 意义： 例8 解 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 1.夹逼准则 注意: 例1 解 由夹逼定理得 为 内有定义的偶函数，已知y=f(x)的图像关于x=2对称，问f(x)是否为周期函数？ 解： 则有 故而 1、复合函数 定义: 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 2、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 例1 解 例2 解 故 思考题 思考题解答 不能． D W D W 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 注意：只有在给定区间上严格单调的函数，才有反函数。 思考题 思考题解答 设 则 故 有关结论： 1、偶函数×偶函数＝偶函数＝奇函数×奇函数， 奇函数×偶函数＝奇函数； 2、奇偶函数复合后还是偶函数，偶偶复合为偶函数，奇奇复合为奇函数； 3、奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数； 4、奇函数的积分为偶函数，偶函数的积分未必是奇函数； 5、周期函数的导数是周期函数(未必反之）； 6、无论f(x) ↑还是↓ ，都有f(f(x)) ↑ ； 7、若y=f(x) ↑(或↓ )，则其反函数也是↑(或↓ ). 练 习 题 二、证明 x y lg = 在 ) , 0