：《空间向量的数乘运算》(选修-).pptVIP

3．1.2　空间向量的数乘运算 1.掌握空间向量的数乘运算． 2.理解共线向量定理及推论． 3.理解共面向量定理及推论. 1.空间向量的数乘运算．(重点) 2.共线向量及共面向量的应用．(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．(易混点) 1．我们把具有 和 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 、 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个 ，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系 (3)空间向量的数乘运算律 ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa； ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 2．共线向量与共面向量 1．下列命题中正确的个数是(　　) ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线． ②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面． ③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb. A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 解析：　①中若b＝0，则a与c不一定共线．②中共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面．③中若b＝0，a≠0，则不存在λ. 答案：　D 由题目可获取以下主要信息： ①长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点； ②化简向量； ③用已知向量表示指定向量． 解答本题先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量系数相等，求出x、y、z即可． [题后感悟]　判断空间图形中两个向量共线的步骤 (1)作出空间图形； (2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b； (3)化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线． 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面． [规范作答]　证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R. ∵ E、F、G、H分别是所在三角形的重心， 1．对空间向量的数乘运算λa的理解 (1)可以把向量a的模扩大(当|λ|1时)，也可以缩小(当|λ|1时)；可以不改变向量a的方向(当λ0时)，也可以改变向量a的方向(当λ0时)． (2)实数与向量的积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. (3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如λ＋a，λ－a没有意义，无法运算． 2．对共线向量的理解 (1)当向量a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线． (2)零向量和空间任一向量是共线向量． (3)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一． (4)在a＝λb中，对于确定的λ和b，a＝λb表示空间与b平行或共线且长度为|λb|的所有向量． (5)共线向量定理的推论可以用来判断空间三点P、A、B是否共线． 3．对共面向量的理解 (1)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面． (2)若a、b共线，则p＝xa＋yb不是p、a、b共面的充要条件，原因是： 若a、b共线，则p与a、b一定共面． 当p与a、b不共线时，p无法写成xa＋yb的形式；当p与a、b共线时，虽然可以写成p＝xa＋yb的形式，但有序实数对不唯一． 【错因】　要研究非零向量a，b是否共线，不能光从表面上看，而应根据a，b共线的充要条件来判断，即看a能否表示为λb的形式． 第三章 空间向量与立体几何 大小 方向 交换律 结合律 向量 方向 . λ0 λa＝0其方向是任意的 λ＝0 λa的模是a的模的 . 方向 . λ0 模的关系 方向关系 λ的 范围 相反 |λ|倍 相同 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使 . 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 . 充 要 条 件 平行于 的向量叫做共面向量 表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做 或平行向量 定义 共面