第五编 平面向量解三角形(共页).docVIP

第五编 平面向量、解三角形 §5.1 平面向量的概念及线性运算 基础自测 1.下列等式正确的是 （填序号）. ①a+0=a ②a+b=b+a ③+≠0 ④=++ 答案 ①②④ 2.如图所示，在平行四边行ABCD中，下列结论中正确的是 . ①= ②+= ③-= ④+=0 答案 ①②④ 3.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则= . 答案 a+b 4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=a，=b，则= . 答案 b-a 5.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是 . 答案 等腰梯形 例1 给出下列命题 ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 . 答案 4 例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形， AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a， =b，=c，试用a、b、c表示，， +. 解 =++=-a+b+c， ∵=++， ∴=-,=-,=, ∴=a-b-c. +=+++=2=a-2b-c. 例3 设两个非零向量a与b不共线， （1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)， 求证：A、B、D三点共线； （2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线. （1）证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b), ∴=+=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5. ∴、共线， 又∵它们有公共点B， ∴A、B、D三点共线. （2）解 ∵ka+b与a+kb共线， ∴存在实数，使ka+b=(a+kb), 即ka+b=a+kb. ∴(k-)a=(k-1)b. ∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k-=k-1=0，∴k2-1=0. ∴k=±1. 例4 （14分）如图所示，在△ABO中，=, =,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试 用a和b表示向量. 解 设=ma+nb， 则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb. =-=-=-a+b. 又∵A、M、D三点共线，∴与共线. ∴存在实数t,使得=t， 即(m-1)a+nb=t(-a+b). 4分 ∴(m-1)a+nb=-ta+tb. ，消去t得：m-1=-2n. 即m+2n=1. ① 6分 又∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb. =-=b-a=-a+b. 又∵C、M、B三点共线，∴与共线. 10分 ∴存在实数t1,使得=t1, ∴(m-)a+nb=t1, ∴， 消去t1得,4m+n=1 ② 12分 由①②得m=,n=, ∴=a+b. 14分 1.下列命题中真命题的个数为 . ①若|a|=|b|，则a=b或a=-b; ②若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； ③若a=b,b=c,则a=c; ④若a∥b,b∥c,则a∥c. 答案 1 2.在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D， 使DB=OB.DC与OA交于E，设=a，=b，用a, b表示向量，. 解 因为A是BC的中点， 所以=(+)，即=2-=2a-b； =-=-=2a-b-b=2a-b. 3.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上？ 解 设=a，=tb，=(a+b)， ∴=-=-a+b，=-=tb-a. 要使A、B、C三点共线，只需= 即-a+b=tb-a ∴有 ，∴ ∴当t=时，三向量终点在同一直线上. 4.如图所示，在△ABC中，点M是