正弦函数余弦函数的图象和性质(四).docVIP

课 题：4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（四） 教学目标： 1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3.掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法. 教学重点：正、余弦函数的性质 教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinxx∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (,1) ((,0) (,-1) (2(,0) 余弦函数y=cosx x([0,2(]的五个点关键是 (0,1) (,0) ((,-1) (,0) (2(,1) 3．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R 4．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 5．周期性 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 6．奇偶性 y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 二、讲解范例： 例1 求函数y＝sinπ的单调增区间. 误解：令ｕ＝π ∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上递增 ∴2kπ－≤π≤2kπ＋ 解得－4k≤x≤－4k＋2 ∴原函数的单调递增区间为［－4k，－4k＋2］(k∈Z) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝π，忽视了ｕ是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化. 正解如下： 解法一：令ｕ＝π，则u是x的减函数 又∵y＝sinｕ在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上为减函数， ∴原函数在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上递增 设2kπ＋≤π≤2kπ＋ 解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z) ∴原函数在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上单调递增 解法二：将原函数变形为y＝－sinπ 因此只需求sinπ＝y的减区间即可 ∵ｕ＝π为增函数 ∴只需求sinｕ的递减区间 ∴2kπ＋≤π≤2kπ＋ 解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z) ∴原函数的单调递增区间为［4k＋2，4k＋4］(k∈Z) 一、利用三角函数的有界性 利用三角函数的有界性如｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1来求三角函数的最值. 例2 a、b是不相等的正数. 求y＝的最大值和最小值. 解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小). y2＝acos2x＋bsin2x＋2·＋asin2x＋bcos2x ＝a＋b＋ ∵a≠b，(a－b)2＞0，0≤sin22x≤1 ∴当sin2x＝±1时，即x＝(k∈Z)时，y有最大值； 当sin2x＝0时，即x＝ (k∈Z)时，y有最小值＋. 二、利用三角函数的增减性 如果f(x)在［α，β］上是增函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(β)，最小值f(α)；如果f(x)在［α，β］上是减函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(α)，最小值f(β). 例3 在0≤x≤条件下，求y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x的最大值和最小值. 解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有 y＝－2sin2x－3·＝2(cos2x－sin2x)－1 ＝2 (cos2xcos－sin2xsin)－1 ＝2cos(2x＋)－1 ∵0≤x≤，≤2x＋≤ cos(2x＋)在［0，）上是减函数 故当x＝0时有最大值 当x＝时有最小值－1 cos(2x＋)在［，］上是增函数 故当x＝时，有最小值－1 当x＝时，有最大值－ 综上所述，当x＝0时，ymax＝1 当x＝时，ymin＝－2－1 三、换元法 利用变量代换，我们可把三角函数最值问