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§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 §3.1.5 空间向量运算的坐标表示 学习目标 1．学会空间向量基本定理及基向量、基底的概念；2．会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量；3.学会空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示；4.学会空间向量平行、垂直条件的坐标表示，能够应用坐标运算证明空间两个向量的平行和垂直，记住两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式。 学习过程 一、课前准备 复习1： 请同学们复习平面向量基本定理、坐标表示及运算的坐标表示相关知识。 二、新课导学 ※ 学习探究 探究一：空间向量的正交分解及其坐标表示 1．空间向量基本定理 (1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ . (2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把 叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 ，空间任何三个 的向量都可构成空间的一个基底． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为 ) (2)空间直角坐标系 以e1，e2，e3的 为原点，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p一定可以把它 ，使它的 与原点O重合，得到向量 ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 . 我们把 称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝ ． 探究二. 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝ ； (2)a－b＝ ；(3)λa＝ ； (4)a∥b(b≠0)? 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a·b＝ . 3．空间向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 ※ 典型例题 知识点一 基底的判断 例1设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个． 反思感悟： 知识点二 空间向量基本定理 例2已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，设＝a，＝b，＝c，点G是侧面CC′D′D的中心，用基底{a，b，c}表示如下向量： 反思感悟： 知识点三 向量运算的坐标表示 已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则： (1)a·(b＋c)＝________；(2)(a＋2b)·(a－2b)＝________. 例3. 设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b，并确定λ，μ的关系，使a＋μb与z轴垂直． 知识点四 向量夹角及长度 例4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、BB1的中点，则cos∠EAF＝________，EF＝________. 反思感悟： ※ 学习小结： 白城实验高中 数学 导学案 编制人 张大光 编号 审批人宿颖慧 包科领导张大光 使用日期 班级 小组 学生姓名 评价 第1页 第2页