(人教高中课标必修四精品教案)正弦函数余弦函数的性质.docVIP

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 教学目的： 1、掌握正弦函数和余弦函数的性质； 2、会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3、了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。 教学重点、难点 重点：正、余弦函数的性质 难点：正、余弦函数性质的理解与应用 教学过程： 一、复习引入： 1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2.正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： （0，0） （，1） （，-1） （2，0） 余弦函数y=cosx x∈[0，2]的五个点关键是 （0，1） （，0） （，-1）（，0） （2，1） 二、讲授新课： 1．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R 2．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。 其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1。 ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1。 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1。 ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1。 3．周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 1(周期函数x(定义域M，则必有x+T(M, 且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界； 2(“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)(f (x0)） 3(T往往是多值的（如y=sinx 2(,4(,…,-2(,-4(,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。 4．奇偶性 y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 5．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。 三、典型例题 例1、 求下列函数的周期： (1)y＝3cosx，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R； (3)y＝2sin(x－)，x∈R。 解：(1)∵y＝cosx的周期是2π ∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现． ∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π． (2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π． 即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)。 只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现． ∴y＝sin2x的周期是π． (3)令Z＝x－，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝(x＋4π)－，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［(x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正数． 从而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π． 小结：从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关． 一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝． 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子： (1)T＝2π，(2)T＝＝π，(3)T＝2π÷＝4π 例2、不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0． (1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)． 解：(1)∵－＜－＜－＜． 且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数． ∴sin(－)＜sin(－) 即sin(－)－sin(－)＞0 (2)cos(－)＝cos＝cos cos(－)＝cos＝cos ∵0＜＜＜π 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数 ∴cos＜cos 即cos－cos＜0 ∴cos(－)－cos(－)＜0 例3．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函