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一类包含数论函数的方程 段小毅 （渭南师范学院 数学与信息科学系07级数本一班） 摘 要：对于任意正整数，设和分别是关于的Euler函数和Smarandache函数。关于Euler函数和Smarandache函数时初等数论中非常重要和有意义的课题，许多学者研究了他们的性质。本文运用这些性质，利用初等的方法，证明方程仅有解n=1,160. 关键词：Euler函数；Smarandache函数；方程的解. 1引言与结论 长期以来，数论函数的基本性质一直是数论及其领域的一个引人关注的课题，对于正整数n,和函数的相关方程也具有其特殊的性质，一直备受青睐。Smarandache函数表示使得的最小的正整数，记作：，即就是。Euler函数表示不大于且与互素的正整数的个数，记作：关于包含Euler和Smarandache函数的方程（*）的解，很多学者都进行了研究，其中有马金平，易媛，陈锡庚黄寿等学者都已经得出了很好的结论。本文在前人的基础上，对给出的方程（*），进一步给出了当的解。 2 若干引理： 引理1 ，这里特别的，如果，则。 引理2 如果是正整数的标准分解式，则有 引理3 如果，则为偶数。并且如果有个不同奇素因子，则。 证明：（1）若有奇数因数。则是偶数，有引理2可得出，所以易知也是偶数。 （2）若正整数没有奇素因子，当时，必有，是大于1的正整数，由引理2可知也是偶数。 故由（1）和（2）可知，命题成立。 引理4 对于素数和正整数，有。特别地，当时，有。 引理5 如果是正整数的标准分解式，则 引理6 欧拉函数具有以下性质， ⅰ 对于素数与，有 ⅱ 如果，则 定理： 当，方程（*）有解n=1,160. 3 定理的证明 (1)当时，显然是方程的解。 (2)当由引理4有： 此时由引理1可知： 可得。 当，; 若，，则17,32,34,40,48,60 即=34,64,68,80,96,120 故34,64,68,80,96,120不是方程的解。 若， ，这与引理3矛盾，所以方程无解。 同理可得，当时，方程无解。 若，，即这与引理3矛盾，所以方程无解。 当时，; 若若，，，无解。 若，，，这与引理3矛盾，所以方程无解； 同理可得若，方程无解。 若，，即：，这与引理3矛盾，所以方程无解。 当时，; 若，，即，则，即 所以不是方程的解。 若，，这与引理3矛盾，所以方程无解。 若，，这与引理3矛盾，所以方程无解。 若，，即，这与矛盾，所以方程无解。 当时，; 若，，这与引理3矛盾，所以方程无解。 若，，这与引理3矛盾，所以方程无解。这与矛盾，所以方程无解。 时，； 若，，，则， 即 所以是方程的解。 若，，这与引理3矛盾，所以方程无解。 若，,即，这与矛盾，所以方程无解。 时， 若，，即要，由Smarandache函数的定理和引理4、5可知，这不可能成立，所以方程无解。 若，， 即由引理6知，不可能成立，所以方程无解。 综上述可得：当时，方程仅有解. （指导教师：陈斌） 参考文献： FARRISM,MITCHELL P,Bounding the Smarandache function , Smarandache Notions J,2002,13:37-42 郑涛，关于数论函数方程，中国科教创新导刊，2009（2） 张文鹏，初等数论，西安：陕西师范大学出版社，2007.7. 黄寿生，陈锡庚，关于数论函数方程,华南师范大学学报，2007（4）：41-43 YIY，An equation involving the Euler function and Smarandache function，2005,1（2）：172-175 华罗庚，数论导引.北京：科学出版社，1979. [7] [8] [9] An equation involving the Smarandache and Euler function (Duan Xiao-yi) (Class 1,Grade 2007,Department of Mathematics and Information Science, Weinan Teachers University) Abstract:For any positive integer ,let and denote theEuler function and Smarandache function of the integer . Many scholars studies its properties .For a positive integer is here, the Euler function