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编号 学士学位论文 凸函数及其应用 学生姓名： 艾木拉姑丽·吐尔逊 学 号： 20060101025 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-1班 指导教师： 托乎提·塞都拉 完成日期： 2011 年 5 月 10 日 摘要 函数凸是一种非常重要的函数.它是研究函数，作出函数图象的基础，因此论文中首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，然后讨论凸函数的充要条件或充分条件.提出凸函数的9种常用的判别法，并给出每一个定理的证明，最后应用凸函数概念证明几个重要不等式. 关键词：有界；单调；连续；可导；凸函数；定理；条件；不等式； 目 录 摘要 1 引言 1 1.凸函数的定义与几何意义 1 2.凸函数的判别法 3 定理1 3 定理2 4 定理3 5 定理4 6 定理5 6 定理6 8 定理7 9 定理8 9 定理9 10 3.凸函数的应用 11 总结 17 参考文献 18 致谢 19 引言 讨论函数的性态，仅仅知道函数在区间严格增加还不够.因为函数在区间严格增加还有不同的方式.函数的凹，凸性是研究函数性质（形态）的重要方法，且证明有些不等式的有力工具. 为了掌握好函数的所有性质，首先要讨论函数凸性的充分条件与充要条件，因此本文中提出了凸函数的几种常用的判别法. 1.凸函数的定义与几何意义 设函数在区间I上有定义、从几何上来看、若的图像上任意两点和之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上）、则称该函数是凸（凹）.参见图1.这个概念用解析的语言可以表述成 定义1； 定义2：设函数在开区间有定义，若 〈1〉则称在区间是下凸函数或简称函数在区间是凸的﹒ 则则不等式〈1〉可以改写为 这就是凸函数的另一种定义﹒ 凸函数的几何意义： 当时点 表示了区间中的某一点，即﹒在下图中弦的方程是： 将代入上式得 但因此不等式〈1〉在几何上表示为也就是说，曲线 在弦下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状﹒（图1） 除了凸函数上面的定义意外，还可以给出连续函数在区间I上为凸函数的的等价性定义； 定义：在区间I上有定义且连续称为I上的凸函数，如果,有 将“”改为“〈”，函数便成为严格凸函数. 定义：在区间I上有定义且连续称为I上的凸函数，如果 ，有 例1： 证明在上是严格凸函数﹒ 证明：事实上有 即函数在上是严格凸函数﹒ 2.凸函数的判别法 定理1 设于上可微 ，则严格下凸是严格增加﹒ 证明： 根据中值定理对一切及必存在 使得 （） 由凸函数定义在是函数﹒ 任取满足我们来证明 严格增加，设从知存在数使得，根据的严格下凸条件得】 即上式表明的函数在严格增加. 由此可见记起并类次可 在严格增加﹒ 定理2 函数在区间可导则在区间可导，则在是凸函数的充要条件是 证明：若在是凸函数，则由定理1有在上单调增加 有 同法可证明时也有 若 令 则 对有 对从而 即在是凸函数. 定理3 若函数在区间上二阶可微且，则下凸. 证明：在区间内任取两点， 令 函数在的泰勒公式是 当时 当时 于是因此内是凸﹒ 定理4 设函数在开区间可导，函数在上是凸曲线位于它的任意一点切线的上方. 证明：，曲线在点的切线方程： 从而 其中在与之间.若函数在是凸，根据定理1，则 同号，于是，有即曲线在其上任意点的切线上方. 若有 当时有 ，当时有于是且 因此函数在上凸. 定理5 在上为下凸函数的充要条件是对一切 恒有 ； 证明：如图所示在曲线上自左至右任取三点则两两相连所得线段的斜率满足 （ 图-2） 设 ，令 则根据的凸函数有 （1）