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§4.6　正弦定理和余弦定理 (时间：45分钟　满分：100分) 一、选择题(每小题分，共3分) 1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　) A．45°或135°B．135° C．45° D．以上答案都不对3．在△ABC中，如果sin A＝sin C，B＝30°，那么角A等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．120°4．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是(　　) A．60° B．45°或135° C．120° D．30° 5．在△ABC中，已知B＝45°，c＝2，b＝，则A等于(　　) A．15° B．75° C．105° D．75°或15° 6．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝60°，b、c分别是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则a等于(　　) A．3 B．4 C．6 D．7 二、填空题(每小题6分，共24分) 7．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________.．在△ABC中，C＝60°，a，b，c分别为A，B，C的对边，则＋＝________.．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则A＝________.三、解答题(共4分) 1．(13分)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b＝2a·sin B. (1)求A； (2)若a＝7，△ABC的面积为10，求b2＋c2的值． 1．(1分)在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状． 1．(14分)在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos 2A＝，sin B＝. (1)求A＋B的值； (2)若a－b＝－1，求a，b，c的值． 8． 9．1 10. 11. 解　(1)∵b＝2a·sin B，由正弦定理知 sin B＝2sin A·sin B. ∵B是三角形的内角，∴sin B0，从而有sin A＝， ∴A＝60°或120°，∵A是锐角，∴A＝60°. (2)∵10＝bcsin ，∴bc＝40， 又72＝b2＋c2－2bccos ，∴b2＋c2＝89. 解　由已知＝＝＝， 所以＝或＝0.即C＝90°或＝. 方法一　利用正弦定理边化角． 由正弦定理，得＝，所以＝， 即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B. 因为B、C均为△ABC的内角， 所以2C＝2B或2C＋2B＝180°， 所以B＝C或B＋C＝90°， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 方法二　由余弦定理，得＝， 即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)， 所以(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0， 所以b2＝c2或a2－b2－c2＝0， 即b＝c或a2＝b2＋c2. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 综上：△ABC为等腰三角形或直角三角形(分为A或C为直角)． 解　(1)∵A、B为锐角，且sin B＝， ∴cos B＝＝. 又cos 2A＝1－2sin2A＝， ∴sin A＝，cos A＝＝. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝×－×＝. 又∵0A＋Bπ，∴A＋B＝. (2)由(1)知C＝，∴sin C＝. 由正弦定理＝＝， 得a＝b＝c，即a＝b，c＝b. ∵a－b＝－1，即b－b＝－1，∴b＝1. ∴a＝，c＝. 点评　本题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识以及基本运算能力．