2003考研数一真题及解析.docVIP

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题(解析见后面) 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） = . （2） 曲面与平面平行的切平面的方程是 . （3） 设，则= . （4）从的基到基的过渡矩阵为 . （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则 . （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y O x （2）设均为非负数列，且,,,则必有 (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ] （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关. (C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关. [ ] （5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； ② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量，则 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 三、（本题满分10分） 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. 求D的面积A; 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分） 将函数展开成x的幂级数，并求级数的和. 五 、（本题满分10分） 已知平面区域，L为D的正向边界. 试证： (1) ; (2) 六 、（本题满分10分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1). 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分） 设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数. (1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解. 八 、（本题满分12分） 设函数f(x)连续且恒大于零， ，， 其中， (1) 讨论F(t)在区间内的单调性. (2) 证明当t0时， 九 、（本题满分10分） 设矩阵，，，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶