经验分布函数及其应用.docx

经验分布函数及其应用经验分布函数定义定义：设是总体(离散型、或连续型，分布函数F(x)未知)的n个独立观测值，按大小顺序可排成 。若 ，则不超过x的观测值的频率为函数，就等于在n次重复独立试验中事件的频率。我们称此函数 为总体的经验分布函数或样本分布函数。简单性质：1.对于每一组观测值 ，单调，非降，左连续且在点有间断点，在每个点的跳跃值都是 。2.显然，具有分布函数的其他性质。3.为样本的函数，是一统计量，即为一随机变量，由于相互独立且有相同的分布函数，因而它等价于n次独立重复试验的伯努利概型中事件发生k次其余 次不发生的额概率，即有： 4.格列汶科定理设总体 的分布函数为 ，经验分布函数为，对于任何实数x，记 则有 其中 也为一统计量用来衡量与之间在所有的x的值上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量以概率为1地收敛于0，也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。经验分布函数的收敛性经验分布函数在统计中有着非常重要的作用, 是理论分布函数与实际数据间的桥梁, 本科教材中已经指出, 当样本容量足够大时, 经验分布函数依概率收敛于总体分布函数,所以, 统计推断才得以以样本为依据, 而得到合理的结果。而事实上, 经验分布函数与总体分布函数还有更进一步的收敛关系, 下简单介绍之我们采用R语言中ecdf(stats)函数，ecdf()所属R语言包：stats，1234plot(ecdf(c(rnorm(10000))), do.points=FALSE, verticals=TRUE,main = 模拟正态分布的经验分布函数)mtext(样本容量为10000,side=3,line=0)以下用的是采用数学方法画出经验分布函数的代码：123456dat=rnorm(10000)x=density(dat)$xdx=diff(density(dat)$x)[1]y=density(dat)$yplot(x,cumsum(y*dx),main = 模拟正态分布的经验分布函数)mtext(样本容量为10000,side=3,line=0)经验分布函数是一个随机变量，而经验分布函数的观测值就是普通意义上的分布函数，它具有分布函数的一切性质。