动力学练习精要.ppt

* * 动力学练习题 一、 牛顿运动定律与惯性坐标系 动力学的基本定律是牛顿提出的三个定律，即通称的牛顿运动定律。这几个定律是： 第一定律 任何物体，如不受外力作用，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 质点受到外力作用时，所产生的加速度的大小与力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。这一定律可用数学公式表为： 第三定律（即作用与反作用定律）两物体间相互作用的力（作用力与反作用力）同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。 二、质点运动微分方程 1． 矢量形式 2．直角坐标形式 3．自然坐标形式 三、质点在非惯性系中的运动 质心运动定理 投影于固定直角坐标轴ｘ，ｙ，ｚ上，可得 （质心的运动微分方程） 动量和冲量 质点系的动量，用P表示： 冲量 质点系动量定理 质点系的动量对于时间的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和。这就是质点系的动量定理。 动量矩 质点系动量矩：质点系中各质点的动量对点O之矩的矢量和为质点系对该点的动量矩。 定轴转动刚体的动量矩： 动量矩定理 质点系对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和。即， 这就是质点系的动量矩定理。 刚体定轴转动微分方程 已知刚体对转动轴ｚ的动量矩是Ｌｚ＝Ｊｚω，设作用于刚体的所有外力对ｚ轴的矩之和是 则有 刚体定轴转动微分方程 相对于质心的动量矩定理及刚体平面运动微分方程 质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对质心的矩之和，即： 这就是质点系相对于质心的动量矩定理 刚体在力Ｆ１、Ｆ２、?、Ｆｎ作用下作平面运动时，它的运动可看作随同质心的平动与绕着通过质心而垂直于图平面的轴的转动合成的结果，于是由质心运动定理及相对于质心的动量矩定理有: 刚体平面运动的微分方程 动能 质点系的动能为质点系中各质点的动能之和，用Ｔ表示，即 表示：质点系的动能等于随同其质心平动的动能与相对于其质心运动的动能之和。这一陈述称为柯尼希定理。 1. 刚体作平动 2. 刚体作定轴转动 3．刚体作平面运动 可以看作是随同质心平动与相对质心转动的合成 动能定理 功率方程 机械能守恒定理 质点系在某瞬时动能和势能的代数和称为机械能。若质点系仅受到有势力的作用（或同时受到不做功的约束力的作用）而运动时，在任意两位置的机械能保持不变。这就是机械能守恒定理，其数学表达式为 普遍定理的综合应用 动量定理、动量矩定理与动能定理统称为动力学普遍定理。 动量定理给出了质点系动量的变化与外力之间的关系，可用于求解质心运动或某些外力。 动量矩定理描述了质点系动量矩的变化与外力矩之间的关系，可用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量或某些外力。 动能定理建立了质点系动能的变化与作功的力之间的关系，可用于复杂的质点系、刚体系统，求解运动或力。应用动量定理和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力；应用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。 在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才能得到问题的解答。另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，也要给予特别的重视。 解： M M0 θ r 9-7小球从光滑半圆柱的顶点Ａ无初速地下滑，求小球脱离半圆柱时的位置角φ。 10-6 长２ｌ的均质杆ＡＢ，其一端Ｂ搁置在光滑水平面上，并与水平成θ０角，求当杆倒下时，Ａ点之轨迹方程。 解：取均质杆为研究对象，分析受力，如图，重力W和约束反力FN水平方向不受力，∑FX=0。开始时处于静止，XC=常数，XC=Lcosθ0。 当杆下落时，A’点坐标为（x,y),C’点坐标为（ XC=Lcosθ0，y/2)。 所以 (X-Lcosθ0)2+(y-y/2)2=L2 即A点轨迹方程是椭圆。则 (X-Lcosθ0)2+y2/4=L2 12-10 质量为m、半径为r的均质圆柱，在其质心Ｃ位于与O同一高度时由静止开始滚动而不滑动。求滚至半径为Ｒ的圆弧AB上时，作用于圆柱上的法向反力及摩擦力（表示为θ的函数）。 解： 12-20 均质杆OC长L，质量为m１，某瞬时以角速度ω绕O转 动。设：（ａ）圆盘与杆固结不能相对运动；（ｂ）圆盘与杆端Ｃ用光滑销钉连 接。又设圆盘是均质的 ，质 量为m２，半径为R，初始角速度为零。试求此时（ａ）、（ｂ）两种情况下系统的动量、动能及对O的动量矩。 12-23 附图所示机构在铅直平面内，已知均质杆AB长2l，重P；曲柄OA长l，其上作用一常力矩M。开始时机构处于静止，且曲柄OA处于水平位置。不计摩擦,不计曲柄 ＯA 与滑块Ｃ的质量，求当杆ＡＢ运动到铅直位置时，（