2012江苏省数学竞赛《提优教程》第44讲 排序不等式.docVIP

第四讲 排序不等式与琴生不等式 本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用． 排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a1，a2，……，an；b1，b2，……，bn．如果a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．那么a1bn＋a2bn－1＋……＋anb1（反序和）≤a1＋a2＋……＋an（乱序和）≤a1b1＋a2b2＋……＋anbn（同序和）， 其中i1，i2，……，in是1，2，……，n的一个排列． 该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值． 切比雪夫不等式：设有两个有序数组a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．则(a1bn＋a2bn－1＋……＋anb1)≤·≤(a1b1＋a2b2＋……＋anbn)， 其中等号仅当a1＝a2＝……＝an或b1＝b2＝……＝bn时取得． 琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上． 定义　设连续函数f(x)的定义域是[a，b](开区间(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a，b]内的任意两点x1，x2有f()≤[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)为[a，b]上的下凸函数．如图(１) 定理一．若f(x)是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x1，x2，……，xn，恒有f()≤[f(x1)＋f(x2)＋……＋f(xn)]． 定义　设连续函数f(x)的定义域是[a，b](开区间(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a，b]内的任意两点x1，x2有f()≥[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)为[a，b]上的下凸函数．如图(2) 定理二：若是上凸函数，则对其定义域中的任意个点恒有，容易验证分别是上的下凸函数。分别是上的上凸函数。定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。 幂平均： 设是任意个正数，我们称为这一组数的次幂平均，记为（），简记作。由定义容易得到，可以证明。 幂平均不等式：设是任意个正数。如果，那么一定有，等号只有当个数全相等时才能成立。例如时，，显然是的递增函数。 我们将在本节的附录里对排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分别给出证明。由于幂平均不等式数学背景深，难度大，这里不再证明，有兴趣的读者可以参阅史济怀先生著《平均》。 A类例题 例1 求证 证法一： 证法二：在上是下凸函数。据琴生不等式，因此 说明：如原题改为求证，则证法二仍可，证法一则不灵。 例2 中求的最大值。 解：考察函数，，对任意， ，所以。因此是上凸函数。据琴生不等式 ，当且仅当时取得最大值。 链接：用琴生不等式可以轻而易举得得到一系列三角不等式，例如中， ，。 例3 若，求的最小值。 解：由于是下凸函数（读者自行证明）。据琴生不等式，即，也就是，当且仅当时达到最小值。 说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。 情景再现 1. 中，求的最大值。 2. ，若，证明是下凸的；若，证明是上凸的。 3. 用函数的凸函数性质证明平均值不等式：对（）有 B类例题 例4 设都是正数，且，试证 证明：据幂平均不等式，因此有，也就是。 例5 1）若不等式对所有正实数都成立，则的最小值是____________。 （第十三届希望杯.高二） 2）设都是正数，试证 3）设，且，试证当时有 1）解：据幂平均不等式，因此，故的最小值是。 2）证明： （1），又因此得 （2）， （1）与（2）相乘得，也就是 。仿此，一般地设；都是正数，且，则有。 3）证明：由幂平均不等式 ，这样便有 （1），由于，由柯西不等式（或平均值不等式）易知 ，于是得 （2），由不等式（1）（2）得。 我们注意到许多不等式就是该不等式的特例。例如，设都是正数，且，那么。设都是正数，且，那么。 例6 已知非负实数满足，证明 。 （2003-2003匈牙利数学奥林匹克） 分析：我们想起这样的一道题。已知为非负实数，，求的最大值和最小值。这道题的几何意义是点在单位圆的一段弧上，求点纵、横坐标之和的最值。对比我们做过的题和要做的题，发现其本质是一样的，只不过问题由平民推到了空间，过去的圆变成了现在的球因而解法完全类似。 证明：由已知，配方可得（这表明点在以为球心，半径为的球面上），据幂平均不等式，当且仅当时取等号。[来源:Zxxk.Com] 又为非负实数，所以，，相加得，解此不等式得，当且仅当时等号成立。综上便有。 例7 设，且，求证 （1994年国家数学集训队9人测验试题