中考复习专题之四---因动点问题产生的平行四边形问题.doc

1.4 因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012年福州市中考第21题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长． 图1 　 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形． 请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1. 思路点拨 1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度． 2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径． 满分解答 （1）QB＝8－2t，PD＝． （2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形． 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 图，所以．　 当PQ//AB时，，即．解得． 所以点Q的运动速度为． （3）以C为原点建立直角坐标系． 如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)． 如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)． 直线EF的解析式是y＝－2x＋6． 如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上． 所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝． 图4 图5 图6 考点伸展 第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t＝2时，PQ的中点为(2，2)． 设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)， 得 解得a＝0，b＝－2，c＝6．′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个． 请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。 思路点拨 1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD． 2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来． 3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在． 满分解答 （1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 代入点C(3, 0)，可得a＝－1． 所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3． （2）因为PE//BC，所以．因此． 所以点E的横坐标为． 将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝． 所以点G的纵坐标为．于是得到． 因此． 所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1或． 考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的： 因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形． 再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形． ，，，． 如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此． 整理，得