动量矩定理精要.ppt

[讨论题]二猴爬绳比赛。已知猴A、B质量相同，mA= mB=m。猴A比猴B爬得快。二猴分别抓住缠绕在定滑轮上的软绳两端，在同一高度从静止开始同时往上爬。不计绳子与滑轮的质量及轴承的摩擦，试分析比赛结果。 分析：研究整个系统。进行受力分析。 三、质点系相对于质心的动量矩定理 x o z y ri rC ri vi C mi x’ z’ y’ 讨论： （1）质点系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。 （2）质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。 （3）当外力系相对质心的主矩为零时，质点系相对质心的动量矩守恒。 质点系相对于质心的动量矩定理： 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的矩的矢量和（主矩）。 例题14 长度为l，质量为m1的均质杆OA与半径为R，质量为m2的均质圆盘B在A处铰接，铰链O、A均光滑。初始杆OA有偏角θ0 ，轮B有角速度ω0（逆时针）。求圆盘和杆转动的角速度。 O θ B A ωB 1. 考虑圆盘B ，受力如图b所示，根据相对质心的动量矩定理 2. 考虑杆轮系统，受力如图c所示,应用对固定点O的动量矩定理，计算轮B动量矩时使用式 ?解： LO = LC + rC× p 得 ωB B A m2g FAx FAy (b) O θ B A m2g m1g FOy FOx (c) 微幅振动时的运动规律为 3. 运动特性：圆盘的转动不影响系统的摆动，而系统的摆动也不影响圆盘的转动。 例题15 已知两均质轮O、C重量分别为P、Q，半径均为r。O轮上作用主动力偶M，C轮在斜面上纯滚动，斜面倾角为α。求C轮轮心的加速度。 分析 ? 本题可考虑用质点系对定轴的动量矩定理求解； ? 问题的关键是如何求平面运动的C轮对O轴的动量矩。 C α O M M M M C α O Q P M Xo Yo FN F ωC ω vC 瞬心 D vC = r?C=r? 解：C轮在斜面上纯滚动，瞬心为D，绳子不可伸长， 系统对O轴的动量矩为 系统所受外力对O轴的矩为 根据质点系对定轴的动量矩定理 §11-6 刚体的平面运动微分方程 分析： 在动力学的研究中，必须将刚体的运动与它所受的力联系起来。此时，只有通过 ? 质心运动定理将刚体质心的运动与外力系的主矢联系起来； ? 相对于质心的动量矩定理将刚体的转动与外力系的主矩联系起来。 所以： 在动力学中，必须选取质心为基点，从而得到刚体的平面运动微分方程。 回顾： 在刚体的平面运动一章中，将刚体的平面运动分解为随同基点的平移和相对基点的转动，刚体的运动情况完全可由基点的运动方程和绕基点的转动方程来描述。在运动学中，基点是任意选择的。 O x y y’ x’ F1 F2 Fi Fn φ D C ω 选质心C为基点，建立平移坐标系Cxy，CD与x轴的夹角为φ，刚体的运动分解为随同质心C的平移和相对质心C的转动。 刚体对质心C的动量矩为 LC=JCω 设刚体受力如图，根据质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有 刚体的平面运动微分方程 矢量方程 代数方程 刚体的平面运动微分方程的投影式 注意：求解时常常需要建立质心速度或加速度与绕质心转动的角速度或角加速度之间的关系 例题16 匀质圆柱的质量是 m ，半径是 r，从静止开始沿倾角是φ的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是 fs 。试求圆柱质心 C 的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。 x y O C A FN F mg α φ aC 平移 纯滚动 连滚带滑 2、质点系动量矩守恒定律 质点系对定点的动量矩守恒： 若 =恒矢量 若 =常量 质点系对定轴的动量矩守恒： 即：当外力对某定点的主矩等于零时，质点系对该点的动量矩保持不变。 即：当外力对某定轴的力矩的代数和等于零时，质点系对该轴的动量矩保持不变。 O 质点系对轴O的动量矩守恒，且等于零。 mAg mBg FO vA vB 即：二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！ 动量矩定理的应用 建立运动微分方程或已知外力矩求运动； 已知运动求力或力矩； 质点系动量矩守恒。 解：取系统为研究对象 例题1 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度。 O P W v ? mg FOx FOy 应用动量矩定理 例题2两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对水平转轴 O的转动惯量是 JO ；鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 (图a)，且 m1 m2。试求鼓轮的角加速度。 O A B r1