勾股定理讲课精要.ppt

勾股定理 这是本届大会会徽的图案． 它是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”． （图中每个小方格代表一个单位面积） A B C 图1-1 （1）观察图1-1 ①正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积。 ②正方形B的面积是 个单位面积。 ③正方形C的面积是 个单位面积。 9 9 9 18 你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流。 A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1-1 可以将C分割成4个直角边为整数的三角形 （单位面积） （图中每个小方格代表一个单位面积） A B C 图1-1 可以将C补成边长为6的正方形，用其面积减去4个全等的直角三角形的面积 （单位面积） （图中每个小方格代表一个单位面积） A B C 图1-1 （2）你们能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积 A B C 图1-2 （1）观察图1-2，并填写下表： A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积） 图1-2 16 9 25 你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流。 做一做 A B C 图1-2 分割成若干个直角边为整数的三角形 （面积单位） 可以将C补成边长为7的正方形，用其面积减去4个全等的直角三角形的面积 （面积单位） A B C 图1-2 A B C 图1-2 （2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积 勾股定理 ①同学们，请你们用尺测量自己手中直角边分别为6cm，8cm的直角三角形的斜边，看看是多少？ 勾股定理 ②我们的定理都是要经过严格的验证的，你们能利用手中四个全等的直角三角形纸片，通过将它们拼接成为一个正方形来证明我们的猜想吗？ ③试试看，有几种拼图方法，你能利用拼出的图形，结合简明的数学表达式来证明勾股定理吗？你是怎样想到这个拼图的？和你的同学交流。 c a b c a b c a b c a b =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c2 4? +(b- a)2 ∵ c2= 4? +(b-a)2 赵爽弦图 c a b c a b c a b c a b a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 (a+b)2 ∵ (a+b)2 = 你能用两种方法表示这个梯形的面积吗？ a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2 美国第二十任总统加菲尔德的证法，所以又称这种证法为“总统”证法。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 a2 + b2 = c2 勾股定理 ∵ △ABC为直角三角形，∠C=90° ∴ AC2+BC2=AB2. (或a2+b2=c2) A B C a b c 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 勾股世界 我国是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三股四弦五”的说法。 勾2 + 股2 = 弦2 股 勾 勾 较短的直角边称为 ， 股 较长的直角边称为 ， 直角三角形中 弦 斜边称为 。 弦 　做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成?4?份。 　之后依照图中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。 　 印度、阿拉伯世界和欧洲的拼图验证 意大利著名画家达芬奇的验证方法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ???? 　 　 ???????????????????图一????????????????? 图 二????????????????? 图 三 　 1.?在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a,b的正方形，并连接BC,FE，如图一 ； 2.?沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ和Ⅱ，如图二 ； 3.?将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图三所示的图形； 4.?比较图一和图二两个多边形ABCDEF和A’B’C’D’E’F’的面积，就可验证勾股定理。 经过我们刚才观察，猜想，验证发现了勾股定理，那么你们会不会用它解决数学问题呢？ 例：在Rt△ABC中∠C =90°，a =3，b =4，求c. 变式：在Rt△ABC中，∠B=90°，a =3，b =4