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高等代数学习笔记 亳州市谯城区 估衣小学 唐士刚 第一讲：集合与映射 一、集合没有严格的定义 具有某种性质的元素的全体称之为集合。 A、B、C表示集合 a、b、c表示元素 a∈A、a不∈A 若a∈Aa∈B 则称A集合包含于B的集合 A是B的子集合 用A ?B Φ表示空集 若A?B B中至少存在一个元素b b∈B、B不∈A 则称A为B的真子集合 用AB表示 定义1.1 若集合 A ?B、B ?A 则称集合A等于集合B,记为A=B 集合相等属于等价关f即 自反性：A=A 对称性：若B=A、则A=B 传递性：若A=B B=C 则A=C 集合例子： 1、所有自然数集合一般用N表示。 2、所有有理数集合一般用Φ表示。 3、所有整数集合一般用Z表示。 4、由有限个元素a1、a2、a3……an所构成集合一般用A=｛a1、a2、a3……an｝表示 5、所有偶数集合可表示为B=｛2n∣n∈｝ 6、如果一个集合的元素也是个集合，则称此集合为集族。 7、由一个集合A的所子集构成集合，称为该集合的幂集用（A）表示 例：若A=｛a、b、c｝则（A）=｛Φ｝、｛a｝、｛b｝、｛c｝、｛a、b｝、｛a、c｝、｛b、c｝、｛a、b、c｝ 定理1.1 若有限集合A有几个元素则 ∣（A）∣=2n=2∣A∣ 并A∪B=｛X∣X∈A或X∈B｝ 交A∩B=｛X∣X∈A且X∈B｝ 差∣A—B=｛X∣X∈且或XB｝ V称为万有集合 V —A=称为A的补集 A∪=V 集合运算性质 1、A∪B=B∪A AB=BA 2、（A∪B）∪C=A（B∪C） 3、A∪（BC）=（A∪B）（A∪C） 4、A（B∪C）=（AB）∪（AC） 5、A∪=V A=Φ 6、若A?B 则A∪B=B AB=A 证明（3） A∪（BC）=（A∪B）（A∪C） 若a∈3、（A∪B）（A∪C） 则a∈A∪B且a∈（A∪C） 若a∈A、 则a∈A∪(BC） 若aA 则必有a∈B且a∈c a∈B则C 所以a∈A∪(BC) 无论怎样均有：（A∪B）（A∪C）?A∪（BC） 另一方面：若a∈A∪(BC) 则a∈BC 若a∈A则a∈（A∪B）（A∪C） 若a∈A a∈（A∪C） 无论怎样均有：A∪(BC) ?（A∪B）（A∪C） 最后得：A∪（BC）=（A∪B）（A∪C） 二、映射 1、定义1、3 设A和B 是任意两个非空集合，如果有一个确定规则⊿，使集合A中每一个元素a都对应到集合B中唯一确定元素b，则称这个规则⊿为从集合A到集合B映射，表示：⊿A→B或A→B 定义1.4 如果⊿是集合A到集合B的映射，元素a经过映射⊿变为b 则记为⊿（a）=b则b 为a的象，a为b 的原象。 定义1.5 如果⊿是集合A到集合B的映射，集合A的全部元素在映射⊿下的全部象的集合称为⊿值域 ⊿（A）=〔m（⊿）〕=值域 定义1.6 若⊿：A→B, T:A→B 如果对任意a∈A,均有⊿（a）=T（a）则称⊿与T 相等，记为⊿=T 定义1.7 若⊿：A→A,对任意a均有⊿（a）=a则称⊿A→A的恒等映射，记为IA 例：若A=｛a1、a2｝ B=｛b1、b2 b3｝ 则A→B的不同映射共有32个 定理1.8 1.若⊿：A→B 如果a1∈A, a2∈A, a1≠a2⊿（a1）≠⊿（a2） 则称⊿为A→B的单映射 四、置换 A→A的映射称为⊿上的一个变换 A→A的女双射称为⊿上的一个置换 定理： 偶置换=偶数个对换的乘积 奇置换=奇数个对换的乘积 偶置换×偶置换=偶置换 奇置换×奇置换=奇置换 第三讲： 自然数 定义1.16 任何一个非空集合N的元素叫做自然数如果在这个集合中，对于某些元素a与b存在关系b在a 后面，或b是a后面的数满足公理：A存在一个数“1”它不在任何数后面，即对任何数a, a，≠1 B对任意数a,存在且仅存在一个它后面数a， 即若a=b,则a，=b， 即若a，=b,则，a=b 归纳公理 1. 1∈M 2. 如果a∈M,那么它后面数a，也属于M,则M=N，即M含有一切自然数 定义1.17 若数b在a后面，则称a是b前元，b是a的后继元。 定理1、13 加法结合律 （a+b）+c=a+（b+c） 加法交换律 a + b= b + a 定义：自然数乘法是指这样对应，由于它对于每一对自然数a与b有且