二元连续与微分.ppt

定义1（二元函数连续性） 1.二元连续函数 性质1 基本初等函数在定义域内是连续的。 性质2 连续函数的和、差、积、商（分母不等于零）是连续的。 性质3 连续函数的复合函数是连续的。 性质4 多元初等函数在定义域内是连续的。 定义2 函数不连续的点称为间断点。 例1 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 例2 讨论下列函数的连续性 解 例3.求下列极限 解 问题3 连续的定义问题。 （1）两种定义的比较。 定义1： 定义2： 注：定义1只是在定义域内点上定义了连续性，而定义2可以 是内点、边界点。A可以是区域也可以是更一般的集合。 分析：用定义2可知在（0，0）点连续。 答：不一定。 分析： 2.二元连续函数的性质 性质1（最大值定理） 有界闭区域 上的连续函数在区域 值与最小值。 上必能取得最大 性质2（介值定理） 有界闭区域 上的连续函数在区域 介于最大值与最小值之间的任何值。 上必能取得 第1讲 多元函数的连续性 1.1.解析几何问题1.2.多元函数的极限问题；1.3.多元函数的连续性问题；1.4.多元函数的偏导数与微分问题； 1.多元函数的偏导数 所有偏导数都存在时，称函数可偏导 2.方向导数与梯度 3.高阶偏导数 定理1 函数二阶导数连续，则 4.全微分 定理2 导树 5.复合函数求导法 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 问题4 关于方向导数的问题。 （1）两种定义的比较。 定义1： 定义2：条件同上。 则方向导数定义： 则方向导数定义： 按定义1，偏导数不存在， 但沿任一方向的方向导数都存在。 1）两者的差异是单侧导数与双侧导数。 2）按定义2，偏导数是它的一种特例。 按定义1，偏导数与方向导数不同。 分析： （2）可微是方向导数存在的充分条件。 定理： 1）可微只是充分条件。 证明函数在（0,0）点沿任一方向的方向导数均存在，但不可微。 证明： 所以，不连续，故不可微。 2）不可微时，方向导数不能用计算公式求。 解： 如果按公式， ，得 问题5 关于梯度 定义： 其方向为方向 其模等于该点处方向导数的最大值。 梯度的计算公式： 梯度与方向导数的关系： 导数取最大值的方向， 问题6 多元函数连续、可偏导、可微之间的关系。 （1）几个例子 （2） 问题7 多元复合函数求导法则的条件。 分析： 分析： 所以： 可微，只是充分条件。 数学学院 西安交通大学数学与统计学院 复变函数课程责任教授 最优化理论博士、硕导 中国-经济数学与管理数学学会理事长 办公室电话：029移动电话E-mail:weiping@mail.xjtu.edu.cn 报告人 魏平 传统课堂与现代慕课 传统课堂 黑板写的工工整整 老师讲的清清楚楚 笔记记得整整齐齐 学生听得明明白白 操作性工作扎扎实实 知识就是力量 现代慕课 多媒体、立体化、多向度、全信息 粗粒化、框架式、差别大、联系紧 速记式、符号化、点主题、习课件 反思性、互动式、跨学科、查百度 任务型工作融会贯通 知识的知识才是力量 第1讲 多元函数的连续性 1.1.解析几何问题1.2.多元函数的极限问题；1.3.多元函数的连续性问题；1.4.多元函数的偏导数与微分问题； 1.圆 标准方程： 一般方程： 参数方程： 解 一.二次曲线 2.椭圆 标准方程： 参数方程： 离心率： 准线： 3.双曲线 标准方程： 参数方程： 离心率： 准线： 渐近线： 4.抛物线 标准方程： 离心率： 1.椭球面 （用截痕法画曲面图） 二.二次曲面 2.单叶双曲面 3.双叶双曲面 4.马鞍面 5.椭圆抛物面 6.椭圆锥面 7. 柱面 圆柱面； 椭圆柱面； 双曲柱面； 抛物柱面。 三.空间曲线的方程： 一般方程： 参数方程： 向量方程： 例1 直线方程 例2 螺旋线 例3 平面截线 四.空间曲线的投影 曲线的一般方程： 两式中消去一个变量 则投影线为 例4.求曲线 在 平面的投影 解 例5 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成，求它在XOY平面上的投影. 解 第1讲 多元函数的连续性 1.1.解析几何问题1.2.多元函数的极限问题；1.3.多元函数的连续性问题；1.4.多元函数的偏导数与微分问题； 多元函数的极限(重极限，二次极限 ） 定义1（二重极限） 例1 证 例2 证 两个累次极限不等 ，则重极限不存在。 注记： 1）重极限