二次根式知识点与例题.doc

平方根与立方根 一、知识点和方法概1、平方根： （1）平方根的定义： （2）开平方： （3）平方根的意义： （4）平方根的表示： （5）求一个数的平方根的方法： （6）算术平方根： 注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2、立方根： （1）立方根的定义： （2）开立方： （3）立方根的意义： （4）立方根的表示： （5）求一个数的立方根的方法： 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 3、次方根： （1）次方根的定义： （2）开次方： （3）次方根的意义： （4）次方根的表示： （5）求一个数的次方根的方法： 、二次根式： 二次根式的定义：式子 (a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； 　　（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； 　　（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， ..........都不是最简二次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。 　　3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为2。 　　4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与a- ， - 与 + ，互为有理化因式。 二次根式的性质： 1. (a≥0)是一个非负数, 即 ≥0; 　　2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 　　4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = · （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a≥0,b0）。 （3）二次根式的运算法则： 化简二次根式的常用方法：因式分解法、公式法、换元法、平方法、倒数法、利用非负数的性质等. 知识结构 基础知识回顾 1．无理数的定义 （ ）叫做无理数 2．有理数与无理数的区 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。 3.常见的无理数类型 一般的无限不循环小数，如：1··· 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 有特定意义的数，如：π=3·· (4).开方开不尽的数。如：。 4．算术平方根。 定义： 我们规定： 性质：算术平方根具有双重非负性： 被开方数a是非负数，即a≥0. 算术平方根本身是非负数，即≥0。 也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数， 0的算术平方根是（ ）， （ ）没有算术平方根。 5．平方根 定义： 非负数a的平方根的表示方法: 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。 ( )只有一个平方根，它是( )。 ( )没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：± ， ，－，它们的意义分别是 ：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意： ≠±。 6.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同 ②个数不同： 表示方法不同： 联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。 7．开方运算： 定义： 开平方运算： 开立方运算： （2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。 8．a2的算术平方根的性质 ①当a≥0时，=（ ） ② 当a0时，=（ ） 一