应变能与余能讲解.ppt

当为静载时，积蓄在弹性体的应变能可由功能原理通过 求解外力做功求得， 一、 应变能 §8-2 应变能与余能 其中： P为广义力， △为广义力P所对应的广义位移 比能u :单位体积内所贮存的变形能 正应力引起的： 剪应力引起的： （8-2-2a) 1、受拉压杆的弹性变形能（线弹性） （8-2-1） 弹性变形能为 2、受扭圆轴的弹性变形能（线弹性） 代入得 （8-2-3) 3、杆在纯弯曲情况下的弹性变形能（线弹性） （8-2-4） 弹性变形能为 由 得 又 4、杆在横力弯曲情况下的弹性变形能（线弹性） （8-2-4） 弹性变形能为 在一般的细长梁中,剪力引起的弹性变形能远小于弯矩所引起的弹性变形能,剪力引起的弹性变形能可忽略不计。 解：[法 1] 运用扭转变形能公式 例 8-1 在线弹性 范围内工作的杆， 已知： m、G、l、d 。 求：在加载过程中所积蓄的应变能 U。 [法 2] 由比能求应变能 解：[法 1 ] 运用功能原理求应变能 挠曲线方程 例8-2 已知：图示抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载 q 作用。求：应变能 外力做功 应变能 [法 2 ] 运用弯曲变形能公式 例 8-3 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l,横截面面积 为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的 应变能。 解：P与 的关系 由A点平衡得 相比为高阶微量可略去不计 与 得 得 代入得 由于P与δ的非线性关系,求能量需用积分。 二、 余能 1、基本公式 2、与应变能的关系 =矩形面积 + 即 二、线弹性材料的几何线性问题 α α B D ε σ 1 P 例8-4 已知两杆的长度均为 l、横截面面积均为A、材料 单轴拉伸时的 σ~ε曲线如图所示。 求：荷载 P1作用下的余能 Uc α α B D ε σ 1 P 解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。 由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此 α α B D 1 P 补充题1:拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EI，受到 P1，P2两个力作用。 (1) 若先在B截面加P1 ，然后在C截面加P2； (2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 分别计算两种加力方法拉杆的应变能。 A B C a b P1 P2 (1) 先在B截面加P1，然后在C截面加P2 A B C a b P1 ? 在B截面加P1， B截面的位移为 外力作功为 ? 再在C上加P2 P2 C截面的位移为 P2 作功为 ? 在加P2 后，B截面又有位移 在加P2过程中P1作功 所以应变能为 A B C a b P1 P2 A B C a b P1 P2 (2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 ? 在C截面加P2 后， P2 作功 ? 在B截面加P1后， P1作功 ? 加 P1引起C截面的位移 在加P1 过程中P2作功 说明 (1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区 别。 (2) 应变能U只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。 谢谢豆丁网，共享于广大网友 * *