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西南科技大学研究生试题答案(A卷) 99-2000学年第一学期 考试课程 应用泛函分析 考试时间 专业班级 考试成绩 简要叙述下列概念（30分）: 度量空间: 定义1.1.1., P1. 拓扑空间: 定义1.2.1, P7. 开集: 假设, 如果G 中的每一个点都是G的内点, 则集合G是度量空间X的一个开集. 稠密、可分: 设X是度量空间, . 如果, 就称A在集合M中稠密. 如果A 还是有限集或可数集, 使, 就称M是可分的. 自列紧集: 设X是度量空间, . 如果M 的任一无穷点列均有收敛自列, 而且还收敛于M中的点, 那么, 称M是自列紧集. 紧集: 设X是度量空间, . 如果M 的每一个开覆盖中都存在有限子覆盖, 即, 使, 那么, 称M是X中的紧集. 赋范线性空间: 定义2.2.1, P35. 线性泛函的范数: 定义2.5.2, P58. 集合M的网: 设X是度量空间, ,, 如果A中一切点的-邻域能够覆盖M, 即. 那末, 称集合A是集合M的一个-网. 二、证明如下命题（50）: 设是度量空间, 是X 中的收敛点列, 则的极限是唯一的. 证明. 若, . 则有 从而, 即有. 压缩映象原理: 设X=是一个非空的完备的度量空间, 存在正数使得映象满足 则映象T在X中存在唯一的不动点. 证明. 任取. 令, 于是有 从而 . . 注意到, 故, 当充分大时, . 故是基本列. 由于X是完备的, 从而有, 使. 因此, , 即是T 的不动点. 如果T还有不动点, 则有 , 由于, 因此只能有, 即有. 设X是内积空间, M是X的完备的线性子空间，又设是完备的标准直交集, 则对任意的, 在M上的投影为 这里, . 证明. , 有 所以, . , 有故 这样一来, . 由于是X完备的标准直交集, 则, 有 于是, 既, 所以, 是在M上的投影. # (Hahn-Banach定理) 设X是赋范线性空间. M是X的线性子空间, 是M上的有界线性泛函. 那末, 存在X上的有界线性泛函, 使得 (1) （2） 证明. 令, . 显然, 是X上的半范数, 并且, . 由定理4.1.2, 存在线性泛函, 使得 =,. 故. 另一方面, 故. # 三、应用题（20）： 设有个变量： 其中关系不知道，问当如何选取时，有最佳逼近. 解. 如果进行了次观察, 取, 将, , , 均看成中的向量. 令. 设是y在M 上的投影, 那末, , 使得 = 最小。这样一来，可以取，