济南大学高等数学C(一)向量代数与空间解析几何.docVIP

第七章 向量代数与空间解析几何 习题7－1（P260） 4. 求点（1，-3，-2）关于点（-1, 2, 1）的对称点坐标： 解：设点M（1，-3，-2）关于点Q（-1, 2, 1）的对称点为N(a,b,c), 则Q点是线段MN 的中点，于是由中点坐标公式得： 因此，对称点坐标为N(-3, 7, 4). 5. 求点M（-4，3，-5）到各坐标轴的距离。 解：由M点到x轴做垂线，垂足为N(-4，0，0)，于是由两点间的距离公式得M点到x轴的距离为： 同理可得到y轴和z轴的距离分别为 6. 在yoz面上，求与已知点A（3，1，2）, B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标。 解：由于该点在yoz面上，于是可设为M（0，b，c）, 由题意知MA=MB, MA=MC, 根据两点间的距离公式有： 解得b=1, c=-2, 所求点的坐标为(0, 1, -2). 7. 求与xoz和yoz两坐标面等距离的点的轨迹。 解：设与xoz和yoz两坐标面等距离的点为M（x，y，z）, 由M点到xoz和yoz做垂线，垂足分别为A(x，0，z)和B(0, y, z)，由题意知MA=MB, 根据两点间的距离公式有： 即满足条件的点的轨迹为：|y|=|x|. 8. 求球面 的中心和半径，并作图。 解：将球面方程化为标准形式得 由标准方程知，该球面的中心为：（1, 0, 0）, 半径为：1， 图略。 习题7－2（P263） 1. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ （3） 解: 在平面中表示双曲线。由于缺少变量z, 在空间中表示母线平行于z轴的双曲柱面。 （4） 解: 在平面中表示抛物线。由于缺少变量z, 在空间中表示母线平行于z轴的抛物柱面。 2. 写出下列曲线绕指定轴旋转而成的旋转曲面的方程： （1）yoz面上的抛物线 绕y轴旋转; 分析：绕y轴旋转，故方程中变量y不变，另一变量z变为： 。 解: 绕y轴旋转, 故得旋转曲面为： (3) xoz面上的直线 绕z轴旋转。 解：绕z轴旋转, 故得旋转曲面为： 即： 3. 指出下列方程所表示的曲面哪些是旋转曲面，这些旋转曲面是如何形成的？ （3） 分析：方程中变量x、z都是二次项，且系数相同，故曲面是绕y轴旋转而成的。 解： 旋转双曲面，由xoy面上的双曲线 绕y轴旋转而成； 或由yoz面上的双曲线 绕y轴旋转而成. (4) 分析：方程可变形为： 解：旋转双曲面，由xoz面上的双曲线 绕z轴旋转而成； 或由yoz面上的双曲线 绕z轴旋转而成. 习题7－3（P266） 指出下列方程所表示的曲线： （1） 解： 表示球心为：（1, -4, 0）, 半径为5的圆， 表示过（0，-1,0）点平行于zox面的平面； 故该方程组表示 平面上以（1,0）为圆心半径为4的圆。 求下列两曲面的交线在各坐标面上的投影方程： （2） 分析： 在空间中分别表示母线平行于z轴和x轴，底面半径为a的圆柱面。 解：它们的交线在xoy和yoz面上的投影方程分别为： 消去变量y得投影柱面为： 故在zox面上的投影方程为： 3. 求准线为 母线平行于z轴的柱面方程。 分析：求母线平行于z轴的柱面方程，故将准线方程中的变量z消去。 解 将准线方程中的变量z消去得投影柱面为： 由于准线为椭球与圆锥的交线，故 所以所求的柱面方程为： 4. 求下列曲面所围成的立体在3个坐标面上的投影. （2） y 分析：立体由圆锥、底面半径为1的圆柱和xoy面围成，如图。 解： 该立体在xoy面上的投影为： 该立体在yoz面上的投影为： 该立体在zox面上的投影为： 习题7－4（P270） 2. 求曲线