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浙江省年月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步
浙江省2010年10月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.由平面上每个坐标都为有理数的点组成的点集是（ ）
A.有限集 B.可数集
C.不可数集 D.闭集
2.可列个开集G1，G2，…的交Gn是（ ）
A.Gδ型集 B.Fσ型集
C.开集 D.闭集
3.设{fn(x)}是简单函数列，若fn(x)存在，则fn(x)是（ ）
A.简单函数 B.可测函数
C.连续函数 D.Lebesgue可积函数
4.若{fn(x)}是有界可测函数列，且|fn(x)|≤|fn+1(x)|，则fn(x)是（ ）
A.连续函数 B.可积函数
C.简单函数 D.可测函数
5.若R是实数集,Q是有理数集,则函数f(x)=（ ）
A.a.e.连续 B.Riemann可积
C.a.e.等于0 D.a.e.等于1
6.设Q是有理数集，f(x)=则 =（ ）
A.0 B.8
C.9 D.10
7.设f(x)是定义在［0,1］上的单调函数，则f(x)是（ ）
A.连续函数 B.可导函数
C.绝对连续函数 D.有界变差函数二、判断题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“╳”。
1.可数个可数集的并集一定是可数集.（ ）
2.n维欧氏空间中的有限集一定是闭集.（ ）
3.设A和B是Rn中任意两个点集，则(A∪B)′=A′∪B′,这里A′、B′和(A∪B)′分别表示A、B和A∪B的导集.（ ）
4.两个不可测集的交集是不可测集.（ ）
5.设ER1且mE=0，则E一定没有内点．（ ）
6.测度为0的点集是可数集.（ ）
7.设f(x)=，则f(x)是不可测函数.（ ）
8.设f(x)是可测函数,则|f(x)|也是可测函数.（ ）
9.有界变差函数f(x)一定可以表示成某两个减函数的差.（ ）
10.设E=Ej，每个Ej都是Lebesgue可测集，若f(x)在E上Lebesgue可积,则 =
.（ ）
三、计算题(本大题共2小题，每小题11分，共22分)
1.构造映射f∶［0,1］→(0,1)和g∶(0,1)→［0,1］,使得g［f(x)］=x且f［g(x)］=x.
2.规定在长度为的康托尔集P的余区间上f(x)=，在康托尔集P上f(x)=2，计算的值.
四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
1.证明开集的余集是闭集.
2.设E□n，存在可测集{Bn}，使得EBn且m*(Bn-E)→0(n→∞)，试证明E可测.
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