湖南省：必修：两角差的余弦公式(湖南师大附中 吴菲).docVIP

课题：两角差的余弦公式 湖南师大附中 吴菲 三维目标： 知识目标：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。 能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。 重点难点： 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式 教学难点：探索过程的组织和适当引导。 教学过程： 走入生活 引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子： 例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W． 解： W = = 30． 提问：1、解决问题需要求什么? 2、你能找到哪些与有关的条件? 3、能否利用这些条件求出？如果能，提出你的猜想． 　 4、怎样检验这些猜想是否正确？ 合作探讨 从特殊情况去猜测公式的结构形式． 令 令 分析：可见，我们的公式的形式应该与均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“”、“÷”？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想． 用具体值检验猜想的合理性． 令则＝ 三角函数 三角函数值 学生再举特例进行验证．（各抒己见） 利用几何画板，对更多的情况加以验证。 三、提出猜想： 师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明． 四、理论证明： 引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示． 我们先来讨论最简单的情况： 为锐角，且 方法一：（利用三角函数线） 证明：在单位圆O中，作， 交单位圆于点，作， 则．过点P作PM垂直x 轴于M，，过点 ，过点，则： ，，且 ∴（为锐角，且） 方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合． 提问：当取任意角的时候，结果又会怎样呢？（展示下一张幻灯片），大家思考一下．（给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果．若学生说出来要给予及时的肯定，若没能说出则作为课后思考作业）． 方法二：（利用向量） 启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？ （引导学生发现，提出证明方法） （学生：向量的数量积！） 证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则： 　　　　=， = 　　　　 = ∴= （0≤≤） 方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！ 思考：1、作为两向量的夹角，有没有限制条件？ 2、如果不在［０，］这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（展示幻灯片，引导学生找到与夹角之间的关系） 推广完善：令为、的夹角， 当时，则 当时，则存在 无论哪种情况，都有 小结：两角差的余弦公式： （其中为任意角，简记为） 思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定） 五、知识运用 1、解决引例中的问题． 2、学以致用：已知是第三象限角， 求． （运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围） 公式的逆用：． 4、拓广延伸：已知是第三象限角， 求（此题根据学生的接受情况，作为后备练习） 5、公式活用：． （此题根据学生的接受情况，作为后备练习） 六、回顾总结 师：我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获． 1、公式探究的一般步骤： 特殊→猜想→证明 2、在运用两角差的余弦公式时应注意： （1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负． （2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的． （3）灵活选取两角的形式，活用公式． 七、 课后思考 适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪些结论？ 八、作业： 必做：P104 2、3、4 选做：