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不等式的证明方法 牛方 摘要:本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳并列举相关实例加以说明。 关键词: 微分中值定理 泰勒公式 函数的单调性 凸函数 Inequality proof method Niufang Abstract: This article from the mid-value theorem, Taylor formula, monotonicity of functions, function as the convexity, higher mathematics the facets of inequality proof method summarized. Key words: The mid-value theorems Taylor formula monotonicity of functions convex function 前言 不等式证明的基本方法很多，例如有比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法，但是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统归纳。本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳等式证明方法进行归纳。 1 利用微分中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理：在闭区间上连续；在开区间内可导。则在内至少存在一点，使得。 柯西中值定理：在闭区间上连续；在开区间内可导；在 内每一点处，则在内至少存在一点，使得： 利用微分中值定理证明不等式的基本思想：根据所要证明的特点，作出相应的辅助函数，而所作的辅助函数应满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件，就可以得到满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件的一点，即也得到相应的表达式，然后再对其进行放大或放小，这样就可证明不等式。 例1 设，证明不等式 分析：构造辅助函数，运用拉格朗日中值定理 证明：先证明不等式的左边，设，因为，在闭区间上连续，在开区间内可导，所以根据拉格朗日中值定理得: ， ，（注意到） 再证明不等式的右边.设,,则，且 由单调递增当时， 特别地，令，则有，即，所以原不等式成立。 例2 设、在闭区间上连续，在开区间上可导，且。 证明：当时， 。 分析：根据函数单调性和柯西中值定理 证明：因为，故单调增加 所以当时，，即，由、在闭区间上连续，在开区间上可导，且对区间内的每一点都有，由柯西中值定理得： ， 从而得： ， 故原不等式成立。 2 泰勒公式证明不等式 2.1 泰勒公式的内容 泰勒公式 如果函数在含有的开区间内有直到阶导数，则对任一点，有： 其中是与之间的某个数，上式称为按的冪展开的阶泰勒公式。 下面就泰勒公式展开点的不同情况来证明不等式。 2.2 展开点选取区间的中点情况 证明思想：选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式。 设函数在区间上有二阶连续导函数且，试证：对于内的任意2个不同点和有 。 证明：将在处展开，得 其中是与之间的某个数。 上式中分别取及， , , 上面两式相加，得： 因为，所以，即 若把题目中的条件改为，而其余的条件不变，则结论改为 设函数在区间上有二阶连续导函数，且，证明 ，其中。 证明： 将在处展开，得 其中是与之间的某个数。 因为，所以有 上式在作定积分，然后取绝对值 即 2.3 展开点选取区间端点的情况 证明思想：当条件中出现，而欲证式中出现，，， 展开点常选为区间两端点，，然后在泰勒公式中取为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式。 例1 函数在区间上二价可导，且，证明：在内至少存在一点使得 证明：将分别在及处展开，得 ，，，， 上式中取，得： ， ， 上面两式相减，并且，得： 记，其中或。 于是有 , 即。 2.4 展开点选取函数的极值点或最值点的情况 证明思想：当题中不等式出现函数的极值或最值项, 展开点常选为该函数的极值点或最值点。 设函数在区间内二价可导，且存在极值及点，使得，试证明：至少存在一点，使得 。 证明：将在处展开，得 ， 上式取，并且，得： ，。 两边同乘以，得： ， 因为，所以有。 设函数在区间上有连续的二价导数，且，试证明： 证明 设，若，则有，结论成立。 下设，于是，且有， 将在处展开得： ，， 即 ， 于是有 ⅰ）当时，上式取，得： ，， 即 ， 。 ⅱ)当时，上式取，得： ， 即 ， 。 由ⅰ)及ⅱ)得，存在，使得： ，