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第五章、谱估计 研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。则要用有限长的N个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。 遍历性：随机平稳过程满足： （1） （2） 和自相关函数(x(m)是正定的，即 对所有{aj}。 经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。采用经典的傅里叶变换及窗口截断。对长序列有良好估计。 现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR模型法（Auto Regressive method），预测滤波器法，ARMA模型（Auto Regressive Move Average）等。对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。应用广泛，发展迅速。 1807--Fourier Transform 1890’s—Schuster--Periodogram周期图 若处有正弦信号与噪声叠加，在处周期图出现峰值1930-Wiener-Kinchine定理，广义谐波分析。定义自相关函数与功率谱，并证明两者互为傅氏变换。 1958-Blackman-Tukey-BT法-由通信工程观点测量功率谱 观测数据－自相关估计－乘窗函数－傅氏变换--功率谱 1965-Cooley-Tukey—FFT—重提周期图法，广泛使用的经典法 1967—现代谱估计－Burg－最大熵谱估计－地震－线性预测 1968-Parzen-自回归AR谱估计法 1971-Van Den Bos-证明最大熵谱估计与AR谱估计法等价。 自此开始了现代谱估计的深入研究：MA, ARMA模型等构成现代谱估计的参量法、还有非参量法1969Capon最大似然谱估计 经典谱估计＋现代谱估计＝完整的谱估计理论 长数据序列－必需应用经典谱估计－性能良好 短数据序列－现代谱估计－估计精度分辨度大大高于经典法。 因BT法及周期图法－无限长序列开窗截断＝有限长序列。 数据开窗、自相关开窗－频域发生“泄漏”，即功率谱的主瓣能量泄漏到旁瓣中，导致弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所湮没，造成谱的模糊。改进窗函数－抑制旁瓣－损失谱的分辨度。 短序列－谱分辨度的极限＝1/序列长度。 现代谱估计适用于短序列的情况，非线性运算，发展很快，新方法层出不穷。80年代，利用信息论的熵谱估计法，多谱（高阶谱）估计及多维谱估计等。小波、分数维等。 §5－1、谱密度意义 能谱密度 设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即： 则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出： 根据Parseval能量定理，有： 由上式可见，信号能量E等于信号频谱模值平方在整个频域上的积分，故称为信号的能谱密度。 当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数： Wiener-Kinchine定理将自相关函数与功率谱密度联系起来： 离散形式－为平稳、零均值序列；其自相关(协方差)函数为： 若有： 则功率谱密度为： 是以0对称，周期为2(。反变换为： 其自相关函数的估计由时间平均函数给出： 功率谱的估计为： 若定义矩形窗 即加窗截断为有限长序列，则有： 功率谱的估计可写成： 将m=n+k代入上式，得： 式中为数据序列 的离散傅氏变换DFT。 (5-13)式－间接法、相关图法 (5-16)式－直接法、周期图法 §5－2、相关图法(Correlogram Method) 根据Wiener-Kinchine定理，先估计出有限长信号x(n) 的自相关函数，即： 易见是偶函数，其长度为2N-1.实际计算时，由于x(n)只有N个观测值，则对于每个延迟，可用的数据只有 N-1-个，故可将上式改写成： 第二步，求的DFT,得到x(n)的功率谱估计： 由于功率谱是经自相关函数间接求出的，故称间接法。 平稳随机过程的自相关函数应为： 显见，实际上自相关估计是仅用有限个数据得到的。 现在，来讨论相关图法的性能，即接近的程度。 (估计偏差：先求的均值（数学期望） 所以估计的偏为： 故可得出结论：m ( 0，为有偏估计。 当N((，m＝有限，偏(0，故为渐进无偏估计。 (估计方差：推导过程略。(l=n-k) 显然，当N((，；又因为： 故为的渐进无偏一致估计。显然，N越大，估计精度越高。当N,m均较大时，还可利用FFT进行计算。由自相关可通过式(5-20)计算功率谱。M越大，分辨率越高，但自相关的偏差及方差也相应增大，通常取M=N/10—N/5，较