用构造凸函数的方法证明中学常见的不等式.docxVIP

本科毕业论文 用分析方法证明中学几种常见不等式 学生姓名：马娇 指导教师：段永江 所在学院：数学与统计学院 所学专业：数学与应用数学摘 要 不等式的学习不仅贯穿了整个中学教学，同时也是中学数学竞赛的主要考点，本文对中学中常见的不等式给予了中学证明方法和大学的证明方法，通过比较发现大学方法的优越性和广泛性，并且指出了中学常见不等式只是大学很多不等式的一种特殊的形式.另外本文也对中学常见的线性规划问题的某些结论给予了理论证明. 关键词：常见不等式，凸函数，不等式，不等式，不等式，朗格朗日乘子法，线性规划. 英文摘要 目录  第一章 用构造凸函数的方法证明中学常见的不等式 §1 证明中学几种常见函数的凸性 1.1 凸函数的定义：设为区间E上的实值函数，对于，： 若有成立，则称为下凸函数. 若有成立，则称为上凸函数. 凸函数的等价定义：设为区间E上的实值函数，对于且则若为下凸函数有 若为上凸函数有 证明：由于为下凸函数，所以有 利用归纳法可得. 1.2 中学所学基本初等函数的证明 中学时我们学习过常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数六种初等函数，下面我们将以期中两种为例来证明他们的凸性. 例1：（常数） 证明： 又 所以既是上凸函数又是下凸函数. 例2： 证明：，不妨设，取（）有泰勒公式得 （） （） 带入得 （） （） 当时有，所以 （1） （2） 将得 将代入上式得到 所以为上凸函数. 当时有，所以 （3） （4） 将得 将带入上式得到 所以 为下凸函数. 显然当时既是上凸函数又是下凸函数. 综上可得：当时为上凸函数 当时既是上凸函数又是下凸函数 当时为下凸函数. 同样的方法可得：为下凸函数. 当时为上凸函数 当时为上凸函数. 当时为上凸函数 当时为下凸函数. 当时为上凸函数 当时为下凸函数. 当时为上凸函数 当时为下凸函数. 当时为上凸函数 当时为下凸函数. 当时为上凸函数 当时为下凸函数. 当时为下凸函数 当时为上凸函数. 通过上述的证明我们不难发现对于一个可导函数当函数的二阶导数大于0时函数是下凸函数，当函数的二阶导数小于0时函数是上凸函数，当二阶导数等于0时函数既是上凸函数又是下凸函数，使用上面泰勒公式展开的方法即可得到，不同的数学分析书中也给出了多种证明方法，这里不在证明。但是通过上面的结论我们可以得到函数与其对应的反函数的凹凸关系，下面给出证明： 定理 ：已知为上凸函数，为的反函数，若为增函数则为下凸函数，若为减函数则为上凸函数. 证明：设则，于是有， 当为增函数时又为上凸函数所以所以有即为下凸函数。同理可得，当为减函数时为上凸函数. §2 通过构造凸函数证明不等式 2.1高中时我们学习过柯西不等式并且对于二维形式的柯西不等式研究了其几何背景即平面上坐标为的两个向量的数量积与它们模长之间的关系：，根据柯西不等式的几何意义对于空间中两个向量作数量积可得即 当空间的维数继续增加时我们同样的可以得到相应维数下的柯西不等式，于是得到一般形式的柯西不等式由数量积的定义可得当两个向量共线时即时取等号。对于一般形式在许多书中都有证明其中最常见的是构造二次函数的方法.这里我们使用高中数学中学习过的数学归 纳法来证明. 证明：当时显然成立。假设当时不等式成立，则时 =+ ++ ++++ + +++++ = 综上可得有 成立. 在实变函数中我们学习过不等式：，； 则有其中 下面我们通过构造凸函数的方法来证明不等式的积分形式 令（）由于指数函数是下凸函数所以有 由于的取值范围为所以使得，代入上式可得两侧同时积分可得即 综上可得 利用抽象测度空间上积分我们得到离散形式的不等式： 其中，当的坐标有有限个不为0时我们得到高中数学竞赛常用的一种不等式的形式： 已知，，则 类比于积分形式的证明过程我们来证明上式. 证明：令（）由于指数函数为下凸函数，所以有 令代入上式可得： 将得不同取值所得不等式相加得到即 在这个证明过程中我们可以看出当令时我们可以得到 即为高