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第5讲 空间直角坐标系 ★知识梳理★ 1.右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）： 沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法： 过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴的坐标分别是，则就是点的坐标 2、在轴上的点分别可以表示为， 在坐标平面，，内的点分别可以表示为; 3、点关于轴的对称点的坐标为 点关于轴的对称点的坐标为； 点关于轴的对称点的坐标为； 点关于坐标平面的对称点为； 点关于坐标平面的对称点为； 点关于坐标平面的对称点为； 点关于原点的对称点。 4. 已知空间两点，则线段的中点坐标为 5．空间两点间的距离公式 已知空间两点， 则两点的距离为 ， 特殊地,点到原点的距离为; 5．以为球心,为半径的球面方程为 特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为 ★重难点突破★ 重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 问题1：点到轴的距离为 [解析]借助长方体来思考，以点为长方体对角线的两个顶点，点到轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为 2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系 问题2：对于任意实数，求的最小值 [解析]在空间直角坐标系中，表示空间点到点的距离与到点的距离之和，它的最小值就是点与点之间的线段长，所以的最小值为。 3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线 (3)得到一些简单的空间轨迹方程 ★热点考点题型探析★ 考点1: 空间直角坐标系 题型1: 认识空间直角坐标系 [例1 ]（1）在空间直角坐标系中，表示 （ ） A．轴上的点 B．过轴的平面 C．垂直于轴的平面 D．平行于轴的直线 （2）在空间直角坐标系中，方程表示 A．在坐标平面中，1，3象限的平分线 B．平行于轴的一条直线 C．经过轴的一个平面 D．平行于轴的一个平面 【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程表示所有横坐标为1的点的集合 [解析]（1）表示所有在轴上的投影是点的点的集合，所以表示经过点且垂直于轴的平面 （2）方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合 【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如： 经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为 题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题 [例2 ] 点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，则的坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系 [解析]因点和关于轴对称, 所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原点对称,故点的坐标为, 又因点和关于平面对称, 所以点坐标为 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为 【新题导练】 1．已知正四棱柱的顶点坐标分别为，，则的坐标为 。 [解析]正四棱柱过点A的三条棱恰好是坐标轴， 的坐标为（2，2，5） 2．平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为 [解析]由已知得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得 ， 3．已知，记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为，则（ ） A． B． C． D． [解析]借助长方体来思考, 、、分别是三条面对角线的长度。，选C 考点2：空间两点间的距离公式 题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题 [例3 ] 如图：已知点，对于轴正半轴上任意一点，在轴上是否存在一点，使