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第十七章 空间向量（理科） 一 空间向量的线性运算 知识点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如下图)。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 二 空间向量的基本定理 知识点 1. 共线向量 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 当我们说向量、共线(或//)时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 (2)共线向量定理：空间任意两个向量、(≠)，//存在实数λ，使＝λ。 深化： (1)对于空间中的任意两个向量来说都是共面的， (2)当p、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线确定的平面内．不共线，与向量共面的条件是存在实数使。 3. 空间向量基本定理： 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 。 深化： (1)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是｛p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R｝．这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把｛a，b，c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)推论中，若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、 A、B、C四点共面．故可看成平面ABC的一个向量参数方程，其中x, y，z为参数. 三 向量的数量积 (一)平面向量 (二) 空间向量 (1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。 (2)向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。 (3)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。 (4)空间向量数量积的性质： ①；②；③。 (5)空间向量数量积运算律： ①；②(交换律)；③(分配律)。 四 空间向量的直角坐标运算 1.空间直角坐标系： (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示； (2)在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； (3)作空间直角坐标系时，一般使(或)，； (4)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2．空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作． 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．如上图 3．空间向量的直角坐标运算律： (1)如右图：若， ， 则， ， ， ， ， ． (2)若，， 则． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标如下图。