空间向量与立体几何部分高考题解析.docVIP

考点1.利用空间向量证明空间垂直问题 利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点. 例1(2010辽宁理19））已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CM⊥SN； 审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0） , 因为， 所以CM⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直. 例2(2010天津理19) 在长方体中，、分别是棱,上的点，==, = .证明平面 审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,, , 已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又 所以平面 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可. 例3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且.求证：平面平面. 审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 解析：以A为原点，向量,,分别为轴、轴、轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴=(-1,0,),=(－1,0,0),设平面EFG的法向量=（，，），则 ==0且==0，取=1，则==0，∴=（0，1,0）, 易证面PDC的法向量为=(2,0,0), ∵==0, ∴⊥, ∴平面平面 【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直. 考点2.利用空间向量处理空间平行关系 空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一. 例4（2010 湖南理18）在正方体，E是棱的中点。在棱上是否存在一点F，使∥平面?证明你的结论。 审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解. 解析：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2,0,2)， ∴=(－2,2,1),=（－2，0，2）， 设面的法向量为=（，，），则 ==0且==0，取=1，则=－1，=，∴=（1，，－1）, 假设在棱上存在一点F，使∥平面，设F(，2，2)（0≤≤2）, 则=（，2，2）， 则==0， 解得=1， ∴当F为中点时，∥平面. 【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围. 例5在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一点，且∥面，为的中点，求证：面∥面. 审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法. 解析：以B点为原点，如图建立坐标系，设AB=，BC=，=，则A（,0,0），(0，，)，(0,0, )，(，0，)， ∴(0，，)，设D(0，，0)（0≤≤）， ∴=(－，，0)，=(－，，)，=(，0，)，=（0，，）， 设面的法向量为=(，，)，则==0且==0，取=，则=，=， 则=（，，）， 又∵∥面， ∴==0，解得=， ∴=（，，）， 设面的法向量为=(,,),则==0且==0， 取=1，则