空间向量的乘法运算.docVIP

3.1.2空间向量的乘法运算 一、选择题 1．设M是△ABC的重心，记a＝，b＝，c＝，a＋b＋c＝0，则为(　　) A.　　 B. C. D. [答案]　D [解析]　M为△ABC重心， 则＝＝(＋)＝(c－b)． 2．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　) A.＋2＋2 B.－3－2 C.＋3－2 D.＋2－3 [答案]　C [解析]　根据A，B，C，P四点共面的条件即可求得＝x＋y.即＝＋x＋y， 由图知x＝3，y＝－2 3．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是(　　) A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 [答案]　A [解析]　本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A. 4．i∥\ j，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的(　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 [答案]　A [解析]　本题考查空间三个向量共面的条件．若i不平行j，则k与i，j共面?存在惟一的一对实数x，y使k＝xi＋yj.故选A. 5．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝－＋＋ D．以上皆错 [答案]　B [解析]　解法一：∵＋＋＝1，∴选B. 解法二：∵＝＋＋， ∴3＝＋＋， ∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋， ∴＝－－，∴P、A、B、C共面． 6．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　) A.＋＋ B.＋＋ C.＋＋ D.＋＋ [答案]　D [解析]　由条件AF＝EF知，EF＝2AF， ∴AE＝AF＋EF＝3AF， ∴＝＝(＋)＝(＋) ＝AA′＋(＋)＝＋＋. 7．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于(　　) A.a－b＋c B．－ a＋b＋c C.a＋ b－c D.a＋b－c [答案]　B [解析]　＝－＝(＋)－ ＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.∴应选B. 8．以下命题： ①若a，b共线，则a与b所在直线平行； ②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面； ③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面； ④若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线确定的平面与由b，c所在直线确定的平面一定平行或重合． 其中正确命题的个数为(　　) A．0个　　　 B．1个　　　 C．2个　　　 D．3个 [答案]　A [解析]　a，b共线是指a，b的方向相同或相反，因此a，b所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，，三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB1A1相交，故④错，故选A. 9．在三棱锥S—ABC中，G为△ABC的重心，则有(　　) A.＝(＋＋) B.＝(＋＋) C.＝(＋＋) D.＝＋＋ [答案]　B [解析]　＝＋＝＋(＋)＝＋ (－)＋(－)＝(＋＋)． 10．有下列命题： ①当λ∈R，且a1＋a2＋…＋an＝0时，λa1＋λa2＋…＋λan＝0； ②当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，λ1a＋λ2a＋…＋λna＝0； ③当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，a1，a2，…，an是n个向量，且a1＋a2＋…，an＝0，则λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0. 其中真命题有(　　) A．0个　　　 B．1个　　　 C．2个　　　 D．3个 [答案]　C [解析]　由于λa1＋λa2＋…＋λan＝λ(a1＋a2＋…＋an)＝λ0＝0， 故命题①为真命题． 由于λ1a＋λ2a＋…＋λna＝(λ1＋λ2＋…＋λn)a＝0×a＝0， 故命题②也为真命题． 命题③为假命题，例如当n＝2时，取λ1＝1，λ2＝－1，a1＝a(a≠0)，a2＝－a，则λ1a1＋λ2a2＝a＋(－1)(－a)＝2a≠0，但此时有λ1＋λ2＝0，a1＋a2＝0，命题③不成立． 二、填空题 11．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________. [答案]　－13i＋2j＋7k 12．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝