空间向量的数乘运算课时作业(解析版).docVIP

　空间向量的数乘运算 时间：45分钟　　分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分) 1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析：2a－b＝2·a＋(－1)·b， 2a－b与a，b共面． 答案：A 2．已知空间四边形ABCD，E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　　) A.＝　　　B.∥ C．||＝|| D．||≠|| 解析：－＝λ－λ＝λ，即＝λ.同理＝μ.因为μλ，所以，即.又λ与μ不一定相等，故||不一定等于||. 答案：B 3．设M是ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：设D是BC边中点，M是ABC的重心， ＝.而＝(＋)＝(c－b)， ＝(c－b)． 答案：D 4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μR，且λ2＋μ2≠0)，则(　　) A．ae1 B．ae2 C．a与e1、e2共面 D．以上三种情况均有可能 解析：a与e1共线，则设a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，即A不正确，同理B不正确，则D也错误，故选C. 答案：C 5．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，且有＝x＋y＋z(x、y、zR)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若x＋y＋z＝1，则原式可变形为 ＝(1－y－z)＋y＋z， －＝y(－)＋z(－)， ＝y＋z，P、A、B、C四点共面． 反之，若P、A、B、C四点共面，由共面向量定理的推论知对空间任一点O，有＝＋s＋t(其中s、t是唯一的一对有序实数)．＝－，＝－，则＝(1－s－t)＋s＋t.令x＝1－s－t，y＝s，z＝t，则有x＋y＋z＝1. 答案：C 6．下列条件中使M与A、B、C一定共面的是(　　) A.＝2－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 解析：C选项中＝－－， 点M、A、B、C共面，故选C. 答案：C 二、填空题(每小题8分，共24分) 图1 7．如图1，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA边上，且＝2，N为BC的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 解析：＝＋＝＋(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c. 答案：－a＋b＋c 8．已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则点A、B、C、D四点________(共面、不共面)． 解析：显然、不共线，否则，存在λR，使＝λ(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)＝3λe1－3λe2. e1，e2是不共线的非零向量，3λ＝1与－3λ＝1矛盾，故、不共线． 设＝x＋y2e1＋8e2＝x(e1＋e2)＋y(3e1－3e2)2e1＋8e2＝(x＋3y)e1＋(x－3y)e2， 解得 ＝5＋(－1)·，A、B、C、D四点共面． 答案：共面 9．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝________. 解析：＝－2x·＋(－3y)·＋(－4z)·，由A、B、C、D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1. 答案：－1 三、解答题(共40分) 图2 10．(10分)如图2，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：＝(＋)． 证明：＝＋＋， ＝＋＋， ①＋，得 2＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋. ＝(＋)． 11．(15分)如图3，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点． 求证：B1C平面ODC1. 图3 证明：设＝a，＝b，＝c， 四边形B1BCC1为平行四边形， ＝c－a. 又O是B1D1的中点， ＝(a＋b)， ＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)， ＝＋＝(b－a)＋c. 若存在实数x、y，使＝x＋y(x、yR)成立，则c－a＝x[(b－a)＋c]＋y[－(a＋b)] ＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc. a、b、c不共线， ∴∴＝＋， 、、是共面向量． 又B1C平面ODC1，B1C∥平面ODC1. 图4 12．(15分)如图4，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m. 求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； (2)∥；(3)＝k. 证明：(1)