空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理 教案(北师大版选修).docVIP

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 31空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理 ●三维目标 1．知识与技能 (1)了解空间向量基本定理及其意义． (2)掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示． (3)会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量． (4)掌握空间向量长度与夹角的坐标表示． 2．过程与方法 从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点． 3．情感、态度与价值观 从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义观点． ●重点难点 重点：空间向量的正交分解与坐标表示． 难点：向量坐标的确定及空间向量基本定理． 空间向量的标准正交分解与空间向量基本定理是在平面向量的正交分解与平面向量基本定理的基础上，增加了一维，在学习本节内容时，一要进行类比；二要增强空间意识，最好借助长方体这个模型来理解有关规律． (教师用书独具) ●教学建议 在前面必修4中已学习了平面向量基本定理，所以将其拓展到空间引出空间共线向量定理是比较自然的；对于空间向量基本定理，有些学生只是从形式上加以记忆，缺乏对问题本质的理解，所以在教学中教师要不断地帮助学生进行反思，这也是改善学生的思维品质，提升学生的数学能力的一个途径，这一过程是隐性的、长期的，但也是必须的． ●教学流程 创设情境，引出问题：如何用坐标表示空间向量类比,平面向量的 坐标表示空间向量的坐标表示类比,平面向量 基本定理空间向量 基本定理―→通过例题探究用基底表示空间向量的方法―→通过变式领会空间向量基本定理中唯一性的应用―→归纳总结，形 成整体认识 课标解读 1.了解空间向量基本定理及其意义．(重点) 2.掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点) 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．(难点) 空间向量的标准正交分解与坐 标表示 【问题导思】　 　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝x，AD＝y，AA1＝z，e1、e2、e3分别是、、的单位向量，试用向量e1、e2、e3表示向量. 【提示】　＝＋＋＝xe1＋ye2＋ze3. 　空间向量的标准正交分解与坐标表示 在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基． (x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示． 在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，向量的坐标也是(x，y，z). 投影 【问题导思】　 1．在平面向量中，向量a在向量b方向上的投影如何求？ 【提示】　|a|cos〈a，b〉或. 2．在平面向量中，非零向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影相等吗？ 【提示】　当|a|＝|b|或ab时，相等；当|a|≠|b|且a不垂直于b时，不相等． 　(1)一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影． 如图2－3－1所示，向量a在向量b上的投影为 OM＝|a|cos〈a，b〉． 图2－3－1 (2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影. 空间向量基本定理 【问题导思】　 1．已知e1、e2、e3是空间中不共面的三个向量，如何用向量e1、e2、e3表示向量a? 【提示】　把向量e1、e2、e3与向量a的起点移到同一点O，记＝a. 如图，过点P作三个平面，分别平行于e1和e2，e1和e3，e2和e3所在的平面，得到一个平行六面体OADB－CEPF，是该六面体的一条对角线，向量，，分别与向量e1，e2，e3共线，＝＋＋＝＋＋. 由e1，e2，e3，根据向量共线的性质，存在一组实数λ1，λ2，λ3，使得＝λ1e1，＝λ2e2，＝λ3e3，即a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3. 2．由1知a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，请问λ1，λ2，λ3唯一吗？ 【提示】　唯一． 1．如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3. 2．空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1、e2、e3的分解，e1、e2、e3都叫作基向量． 当向量e1、e2、e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3叫作a的标准正交分解.