立体几何教具含精彩例题文本.docVIP

“积木式立体几何教具与学具”研究报告 湖南宁乡一中 黎国之 一、发明背景 立体几何是一门重要的数学分支，它对培养学生的空间想象能力和抽象思维能力作用很大，又颇具实用性，但学生往往对其畏惧三分，女生、文科生尤其视为畏途。长期以来，在立体几何教学中，教师为了帮助学生理解问题，少不了要搬来多种模型或实物，其作用单一，效果不是很理想，这与缺乏优秀教具，导致就事论事，割裂事物的内在联系，不能充分暴露数学的内在和谐性和外在美有关。本作品在相当高的程度上解决了这一问题。 二、使用现状与发展方向 此教学具用透明材料制成，晶莹剔透，其中各种点、线、面、形及其相互关系一目了然。使用安全，携带方便，教师不必另备其它教具。缩小尺寸，采用注塑挤压成型工艺制作成学具，成本低廉，学生人手一套，则爱不释手，在把玩摆弄之中就提高了空间想象能力，价值更加显著。总之，该作品有很大的社会价值与市场价值。 三、作品原理 充分发掘正方体的丰富内涵，对正方体进行典型的切割、分解、重组，即可形成各种典型多面体（如三棱锥，四棱锥、直角四面体、斜三棱柱，等等）和各种其它常见结构图形，以期解决线线、线面和面面位置关系的定义、定位、定性、定量问题，也就是说它具有概念形成功能、角和距离的定位功能、角和距离的定性功能、角和距离的定量功能，以及妙不可言的变换功能。 此教学具用透明的板状材料制成，晶莹剔透，其中各种点、线、面、形及其相互关系一目了然。 四、结构图样 精彩应用实例（含包括2009年在内的近几年高考题目） 实际上，这个教学具是个千变万化的变形金刚，很多难题都可以用它轻易解决，而这个解题的过程也是个享受喜悦的过程。 例1、有一个三棱锥和一个四棱锥，所有14条棱长都相等，现使它们重复一个面，则还剩下多少个暴露面？ 这是1982年美国举行的一次有83万中学生参加的全国性“初级学术能力测验”中的一道考试题，对这个问题，命题者和绝大部分考生都认为应该有7个暴露面，因为两个棱锥分开共有9个面，当重合一个面以后，有2个面消失了。 但是，十七岁的学生丹尼尔·路文的答案是还剩5个暴露面，结果被老师判为错误，难道真的自己错了吗？丹尼尔动手做了模型，证实了自己的结论，并向主考机关提出了申诉。当有关专家再度仔细思考以后，不得不承认丹尼尔的答案才是对的。 对这个问题，我们当然可以通过一般方法证明之，即，当两个面重合以后，同时还有两对侧面是共面的，因此答案为4+5-2-2=5，所得图形是一个斜三棱柱。 现在用我们的这个教具/学具来演示，就会豁然开朗了，如图即可。至于证明过程，只需要把我们这个学具由正方体经过两次正确的拼接即可（略）。 例2、一个由三根细棒PA、PB、PC组成的支架，PA、PB、PC两两所成的角都为60°，一个半径为1的小球放在支架上（如左图），则球心 O到点P的距离是（ ） A、 B、2 C、 D、 解：这是近年高考题中的一道把关题，许多考生被它折磨得烦躁不堪。实际上，如下图， AD1、AC、AB1三条面对角线就是所需的支架，则小球内切于正方体中，因此所求球心 O到点P的距离是正方体主对角线长的一半，选C。 这个解法是我的学生王博威同学在把玩这个教学具时发现的，时间在2009年5月下旬，他发现的这个解法震惊了在场的其它同学。 例3、从空间一点发出四条射线，它们两两所成的角相等，则此角的余弦为多少？解：答案为-1/3，利用体积关系即可，妙极。 例4、正四面体的外接球球心与顶点的张角的余弦值是 。 解：此题实际上同第3题本质相同。将正四面体置于正方体中，则∠AOC即为所求的角，利用余弦定理或者二倍角的余弦公式不难得cos∠AOC=。 另解：利用正四面体的等体积法也很不错。 例5、已知正四面体ABCD的棱长为，求异面直线AB与CD间的距离。 解析：把正四面体ABCD置于一个棱长为1的正方体中，即知AB与CD间的距离为1。 例6、从一个二面角的棱上一点向两个半平面引两条射线，它们与棱所在的直线均成45度角，且这两条射线所成角为60度，则此二面角的度数为多少？ 解答：90度，只需把此图形放在正方体中考察，立得结果。 例7、一个西瓜，假设保持原地不动，切四刀，最多可以得到多少块？ 解答：15块。逆向考虑：切成后，中间必有一块无皮，它是一个四面体，与此四面体的顶点、棱、面相联系的块数分别为4、6、4块，连同中间1块共15块。 此题，大学生未必解得出，但运用本作品这个工具， 有初中生解出来了。 例8、（1999年高考题）同寝室4人，各写一张贺卡庆祝元旦，写完后集中起来，每人拿一张，但不能拿自己写的，一共有多少种拿法？ 解答：9种。这是一个错位问题，解答方法很多，利用此教