第 讲 平面与空间直线(第课时共面问题).docVIP

第 40 讲 平面与空间直线-共面问题 （第3-4课时） 6．证诸点共面 方法：①证这些点所在的直线共面。②先设其中三点确定一个平面，再证其它点在此平面内。③证其中几点在第一个平面内，另几点（中间可以含有刚才已用过的点）在第二个平面内，再证此两平面重合。 例．如图，是一个空间四边形，、、、分别是四条边、、、的中点，求证、、、四点共面。 证明：如图，连接、，它们分别是和的中位线， ∴ ∥，∥，∴ ∥， ∴ 过和可以作一个平面， ∴ 、、、四点共面。 说明：本题使用方法①。 例．设若干点在一平面内的射影都在一条直线上，试证这些点在同一平面内。 证明：如图，设点、、、、…… 在平面内的射影分别为、、、、…… ∵ ，，∴ ∥， ∴ 与确定的平面， 同理，与确定的平面， 与确定的平面，…… 又 、、、……均过直线， 而过一不垂直于已知平面的直线只可作一个平面与已知平面垂直， ∴ 、、、……重合， ∴ 、、、、……在同一平面内。 说明：本题使用方法③。 例．如图，已知异面直线、，试证两个端点分别在直线和上的线段的中点都在同一平面内。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。） 已知：如图2-2，、、是两个端点分别在、上的线段，是两个端点分别在、上且异于、，异于、的线段中的任一条，、、、分别是、、、的中点，求证：、、、共面。 证明：连接、，假设、、三点共线， ∵ 是的中位线，∴ ∥，∴ ∥， 但 是的中位线，∥， ∴ ∥ （三线平行公理）， 这与已知的、异面矛盾，∴ 、、三点不共线。 故可设、、三点确定平面， 图2-2 如图2-3，连接，下面说明必与相交。 设与确定平面，与确定平面， ①假设∥，由∥可得 ∥，由面面平行判定 定理有 ∥，同理∥， 那么与平行或重合，但与有交线，故与不 可能平行； 若与重合，则、共面，与已知、异面矛盾，故 与不可能重合。∴ 。 ②假设，则，即 =，与∥矛盾， 图2-3 ∴ ， 综合①②可知，必与相交，设交点为， 如图2-4，连接，∵ ，∥，∴ ∥， ∵ 为中点，在中，必为中点， 同理可证，必与相交，设交点为， 连接，同理可证，必为中点， ∴ 与重合，∴ ， ∴ 、、、共面。 说明：本题使用方法②。 图2-4 7．证诸线共面 方法：①先证两线确定一个平面，再证其它线在此平面内。证其它线在此平面内时，可证其它线上有两点在此平面内，也可假设其它线不在此平面内而引出矛盾。②先证其中几线在一个平面内，另几线在另一个平面内，再证此两平面重合。 例．过两异面直线中一条上各点引另一条直线的平行线在同一平面内。 （已知求证略。） 证明：如图，在上任取两点、， 过、分别作∥，∥， 设和确定平面，假设, ∵ ，∴ ， 在内过作∥，∵ ∥，∴ ∥， 故在空间过一点有了两条直线与已知直线平行，这不可能，∴ , 同理可证过上其它各点所作的平行线也在内。 点评：本题使用方法①之反证法。 例．如图，过直线作平面、、、……从外一点分别作各平面的垂线、、、……、、、……为垂足，试证所有这些垂线共面。 证明：∵ ，，，， ∴ ，，∴ 平面， 同理，平面， ∵ 过一点只可以作一个平面垂直与一条直线， ∴ 平面与平面重合，∴ 平面， 同理可证其它垂线在平面内， ∴ 、、、……共面。 点评：本题使用方法②。 8．证诸线不共面 例．如图，已知空间四边形，试证、异面。 证法一：∵ 平面，平面=，， ∴ 、异面。 证法二：假设、共面，则、、、共面， 这与已知是空间四边形矛盾， ∴ 、异面。 点评：本题使用反证法。 LJ 01 01-03 平面的概念与性质(续) 1 2 3 4 5 6 7 8 证诸点共面 ● 证诸线共面 √ √ 证诸线不共面 √ 2．如图，已知二面角--内一点，，，，求证 、、共面。 证明：∵ ，，∴ ， 又 ，∴ 面，同理，面， ∵ 面和面都过点且垂直于， ∴ 面和面重合， ∴ 、、共面。 点评：本题使用方法①。 3．若一条直线和三条两两平行的直线都相交，则这四条直线在同一平面内。 证明：（已知求证略） 如图，∵ ∥，∴ 、确定一个平面，设为， ∵ ∥，∴ 、确定一个平面，设为， 则 、，∴ ， 同理 ，即、既在内又在内，∴ 、重合， ∴ 、、、共面。 点评：本题使用