第一二章练习题新.docVIP

集 合 论 基 础 一、填空题 1.设,，则_________________. 2.欲使{正整数全体}～{正奇数全体},只须令映照___________，为正整数. 3.欲使～，只须令映照___________＿＿,为正实数. 4.设{实数列全体}，则的势为___________. 5.设是的子集，则______ . 6.设[0,1]中无理数全体所成集为，则_________. 7.设为集合，则________（用描述集合间关系的符号填写）. 8.设为集合，则________（用描述集合间关系的符号填写）. 9.则 ______， ____________. 10.,,, 则____________， ______________. 二、判断题 1.可数集的交集必为可数集。（ ） 2.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（ ） 3. 相等的集合是对等的，但对等的集合不一定相等. （ ） 4.。（ ） 5.无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。（ ） 三、证明题 1．证明集合等式： 2.证明:. 3.证明：若，且，则有。 4.证明：有理数集为可数集。 5.证明：若为上的连续函数，且不恒为常数，则的基数为。 7.设f(x)是定义于E上的实函数，a为一常数，证明（1） （2） 8.证明：由直线上互不相交的开区间所组成的集合至多只有可数个。 9.所有系数为有理数的多项式组成一可数集合. 中 点 集 一、填空题 1. E为闭集的充要条件是 。 2.若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足 。 3. 设，则__________________________________． 4.设,试用邻域描述：是的内点___________；，若_______________，则称为闭集；为自密集； 若_____________，则称为完备集．上任一非空开集可以表示成_________________________________的并集． 根据闭集结构可断言：上的完备集必是_____________________的闭集. 设，则____________， ____________， 设为Cantor集，则___________， ____________． 设是Cantor集，是有理数集，,, 则它们中的闭集有_____________， ___________，完备集有____________，. 判断题 设为点集, , 则是的外点. （ ） 点集的闭集. （ ） 任意多个闭集的并集是闭集. （ ） 设，若P不是E的聚点，则P一定是E的孤立点。（ ） 三、证明题 1.证明:为开集；. 2.证明:开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集. 3.设，则的充要条件是。 4.证明:中任一闭集都可表示成可数个开集的交集, 任一开集都可表示成可数个闭集的并集. 5.证明:是包含的最小闭集,即对任意闭集,若,那么. 6.试证一切包含的闭集之并恰为. 7.设，既是开集又是闭集，证明:或者. 8.设是上的实值连续函数，证明对于任意常数，都是开集， 都是闭集. 9.设，证明:在上连续的充要条件是：对任意的闭集，必为闭集.