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第一章行列式的习题课 一、基本内容 1．排列及其逆序数，奇排列、偶排列 倒排列；两个排列的逆序数之和 2．阶行列式的定义 它的展开式共有项，每一项都是取自不同行、不同列的个元素的乘积。该项的符号确定有三个原则： （1）标行按自然序排列； （2）列标按自然序排列； （3）行、列下标均不一定按自然序排列。 3．用定义计算行列式只适合于零元素特别多的行列式的计算。一般情况下是利用行列式的性质，将行列式化成上（下）三角形行列式来计算，因为上（下）三角形行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积。 至于对角线法则只能适合于计算四阶以下的行列式，高阶行列式（四阶或四阶以上）绝对不能用对角线法则，要利用行列式的性质将其化为上三角形行列式来计算或者按一行（列）展开。 4．行列式的性质 性质1任意行列式与它的转置行列式的值相等，即。 性质2行列式某一行（列）的公因子可以提取到行列式符号外边来； 推论 若行列式某一行（列）的元素全为零，则其值为零； 性质3若行列式某一行（列）的每一个元素均可以表示成两个元素之和，则该行列式可以表示成两个行列式之和（拆分原则）。 推论1 若行列式有两行（列）的元素对应相等，则行列式的值等于零。 推论2 若行列式某两行（列）的元素对应成比例，则其值为零。 性质4 交换行列式的任意两行（列），行列式改变符号； 性质5 将行列式某一行（列）的倍数加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（这条性质是我们在简化行列式的过程中用得最多的一条性质）。 性质6（行列式按一行（列）展开定理） 余子式：的余子式；代数余子式：的代数余子式 行列式的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式的任意一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即： 5．行列式的两种主要计算方法 （1）化成上三角形行列式计算：利用行列式的性质将行列式化为上三角形行列式，因为上三角形行列式的值等于其主对角线上元素的乘积。这种方法也是线性代数的基本功。 （2）按一行（列）展开：首先利用行列式的性质，把行列式化为某一行（列）只有一个非零元素，其余元素均为零，然后按该行（列）展开。则行列式的值就等于该非零元素乘以它的代数余子式。 例如，计算行列式 对于计算一般的阶行列式，主要是找出它的规律，以便求出结果。 6．几种特殊类型的行列式 （1）上（下）三角形行列式、对角形行列式（略）。它们的值都等于其主对角线上所有元素的乘积。 （2）范德蒙（Vandermonde）行列式 （3）关于副对角线的行列式的计算 二、例题选讲 本章的难点在n阶行列式的计算，学生应注意在计算n阶行列式的方法及技巧下工夫。对于不同的行列式有不同的解题方法与技巧，要灵活掌握。在计算行列式时，应尽量避免用分数去加减，以减少错误率。 例1 计算行列式 例2 计算n+1阶行列式 例3 计算n阶行列式 例4 证明n阶行列式 1